Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{x \operatorname{sen} x}{y}, y(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial. Informações dadas:
  • A equação diferencial é \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x\,\operatorname{sen}x}{y}. (Aqui vou usar a notação matemática padrão \sin para o seno, ou seja \operatorname{sen}x = \sin x.)
  • A condição inicial é y(0)=-1.
  • A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis y e x. Separar variáveis significa colocar todos os fatores envolvendo y multiplicando dy de um lado e todos os fatores envolvendo x multiplicando dx do outro lado, para poder integrar cada lado com sua respectiva variável.
Partindo de
\frac{dy}{dx}=\frac{x\sin x}{y},
multiplicamos ambos os lados por y\,dx e obtemos
y\,dy = x\sin x\,dx.
Aqui a ideia é que agora podemos integrar o lado esquerdo em y e o lado direito em x.
Observação útil: a manipulação acima é válida enquanto y\neq0. Como a condição inicial dá y(0)=-1, na vizinhança de x=0 temos y\neq0 e portanto a separação faz sentido localmente.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.
Agora o lado direito:
\int x\sin x\,dx.
Para calcular \int x\sin x\,dx usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u = x (então du = dx) e dv = \sin x\,dx (então v = -\cos x). Aplicando:
\int x\sin x\,dx = x\cdot(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
E \int \cos x\,dx = \sin x. Logo
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 4

Igualando as integrais dos dois lados (absorvendo constantes numa só), temos
\frac{y^{2}}{2} = -x\cos x + \sin x + C,
onde C é uma constante de integração única (relacionada a C_1 e C_2). Multiplicando por 2 para simplificar:
y^{2} = -2x\cos x + 2\sin x + C',
com C' = 2C.

Passo 5

Agora usamos a condição inicial y(0)=-1 para determinar a constante C'. Substituindo x=0 e y=-1 em
y^{2} = -2x\cos x + 2\sin x + C',
obtemos
(-1)^{2} = -2\cdot 0\cdot\cos 0 + 2\sin 0 + C',
ou seja
1 = 0 + 0 + C',
logo
C' = 1.
Portanto a relação implícita solução fica
y^{2} = -2x\cos x + 2\sin x + 1.

Passo 6

Tirando raiz quadrada para obter y explicitamente:
y(x) = \pm\sqrt{-2x\cos x + 2\sin x + 1}.
A escolha do sinal (mais ou menos) é feita impondo a condição inicial. Como y(0)=-1 e a raiz principal positiva em x=0 é \sqrt{1}=1, precisamos do sinal negativo para que y(0)=-1. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x) = -\sqrt{-2x\cos x + 2\sin x + 1}.
Observação final: a solução só existe onde o radicando -2x\cos x + 2\sin x + 1 for não-negativo; perto de x=0 ele vale 1, então existe uma solução local em torno de 0. Em prova, normalmente basta apresentar a expressão e indicar o sinal escolhido pela condição inicial.

Resposta

y(x) = -\sqrt{-2x\cos x + 2\sin x + 1}

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