Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial. Informações dadas:
- A equação diferencial é
. (Aqui vou usar a notação matemática padrão para o seno, ou seja .) - A condição inicial é
. - A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Separar variáveis significa colocar todos os fatores envolvendo
multiplicando
de um lado e todos os fatores envolvendo
multiplicando
do outro lado, para poder integrar cada lado com sua respectiva variável.
Partindo de
multiplicamos ambos os lados por
e obtemos
Aqui a ideia é que agora podemos integrar o lado esquerdo em
e o lado direito em
.
Observação útil: a manipulação acima é válida enquanto
. Como a condição inicial dá
, na vizinhança de
temos
e portanto a separação faz sentido localmente.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
onde
é uma constante de integração.
Agora o lado direito:
Para calcular
usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolhemos
(então
) e
(então
). Aplicando:
E
. Logo
onde
é outra constante de integração.
Passo 4
Igualando as integrais dos dois lados (absorvendo constantes numa só), temos
onde
é uma constante de integração única (relacionada a
e
). Multiplicando por
para simplificar:
com
.
Passo 5
Agora usamos a condição inicial
para determinar a constante
. Substituindo
e
em
obtemos
ou seja
logo
Portanto a relação implícita solução fica
Passo 6
Tirando raiz quadrada para obter
explicitamente:
A escolha do sinal (mais ou menos) é feita impondo a condição inicial. Como
e a raiz principal positiva em
é
, precisamos do sinal negativo para que
. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
Observação final: a solução só existe onde o radicando
for não-negativo; perto de
ele vale
, então existe uma solução local em torno de
. Em prova, normalmente basta apresentar a expressão e indicar o sinal escolhido pela condição inicial.