Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial dada:
y=\sqrt{x} ; \quad x y^{\prime}-y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função \;y=\sqrt{x}\; é uma solução da equação diferencial
x\,y'-y=0.
Informações dadas:
\;y=\sqrt{x}\; (isso define o domínio natural \;x\ge 0\; para a função).
A equação diferencial a ser testada é \;x\,y'-y=0\;.
Não há outras condições dadas (por exemplo, intervalo onde a solução deve valer), por isso vamos verificar a igualdade para todos os x onde y é diferenciável.

Passo 2

Calcular a derivada de \;y=\sqrt{x}\; explicitando a regra usada.
Reescrevemos a raiz como potência:
y = x^{1/2}.
Usamos a regra da potência: se \;y=x^n\; então \;y'=n x^{n-1}\;. Aqui n=\tfrac12, logo, para x>0,
y' = \tfrac12 x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação sobre o domínio da derivada: essa expressão para \;y'\; é válida somente para \;x>0\;. Em x=0 a derivada à direita tende a +\infty, portanto \;y'\;(0) não existe como número finito. Assim, a função é diferenciável apenas para \;x>0.

Passo 3

Substituir \;y\; e \;y'\; na equação diferencial e simplificar passo a passo.
A expressão da esquerda da EDO é
x\,y'-y.
Substituindo \;y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\; e \;y=\sqrt{x}\; (para \;x>0\;):
x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}.
Simplificamos x/(2\sqrt{x}). Como x=(\sqrt{x})^2, temos
\frac{x}{2\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{2}.
Portanto
x\,y'-y=\frac{\sqrt{x}}{2}-\sqrt{x}=-\frac{\sqrt{x}}{2}.

Passo 4

Interpretar o resultado e concluir se a igualdade é satisfeita.
Encontramos
x\,y'-y = -\frac{\sqrt{x}}{2}.
Para \;x>0\; temos \;\sqrt{x}>0\;, então -\dfrac{\sqrt{x}}{2}\neq 0. Logo a equação diferencial \;x\,y'-y=0\; não é satisfeita para nenhum \;x>0\;.
Em x=0 a função tem \;y(0)=0\; mas \;y'(0)\; não existe (é infinito como limite à direita), então não podemos dizer que a EDO é satisfeita em x=0 porque a equação envolve y' e este não está definido como número finito em 0. Portanto não há intervalo onde \;y=\sqrt{x}\; seja solução da EDO.

Passo 5

Checagem alternativa rápida: forma geral das soluções da EDO linear homogênea.
A EDO pode ser escrita como
y'=\frac{y}{x}\quad(x\neq0),
é separável: \dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x}. Integrando obtemos
\ln|y|=\ln|x|+C \quad\Rightarrow\quad y=Cx,
onde C é constante. Assim as soluções gerais são retas através da origem y=Cx. A função \;y=\sqrt{x}\; não tem a forma linear Cx em nenhum intervalo de x>0, portanto não pode ser solução.

Passo 6

Conclusão final e incentivo: como vimos por substituição direta e pelo caráter das soluções gerais, \;y=\sqrt{x}\; não satisfaz a equação diferencial em nenhum intervalo; então não é solução. Continua firme — essa verificação por substituição é a técnica direta que costumam pedir nas provas: calcular y', substituir e checar se obtemos zero.

Resposta

Não — y=\sqrt{x} não é solução da equação diferencial x\,y'-y=0.

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