Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial dada:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é uma solução da equação diferencial
Informações dadas:
(isso define o domínio natural
para a função).
A equação diferencial a ser testada é .
Não há outras condições dadas (por exemplo, intervalo onde a solução deve valer), por isso vamos verificar a igualdade para todos os onde
é diferenciável.
A equação diferencial a ser testada é
Não há outras condições dadas (por exemplo, intervalo onde a solução deve valer), por isso vamos verificar a igualdade para todos os
Passo 2
Calcular a derivada de
explicitando a regra usada.
Reescrevemos a raiz como potência:
Reescrevemos a raiz como potência:
Usamos a regra da potência: se
então
. Aqui
, logo, para
,
Observação sobre o domínio da derivada: essa expressão para
é válida somente para
. Em
a derivada à direita tende a
, portanto
não existe como número finito. Assim, a função é diferenciável apenas para
.
Passo 3
Substituir
e
na equação diferencial e simplificar passo a passo.
A expressão da esquerda da EDO é
A expressão da esquerda da EDO é
Substituindo
e
(para
):
Simplificamos
. Como
, temos
Portanto
Passo 4
Interpretar o resultado e concluir se a igualdade é satisfeita.
Encontramos
Encontramos
Para
temos
, então
. Logo a equação diferencial
não é satisfeita para nenhum
.
Em a função tem
mas
não existe (é infinito como limite à direita), então não podemos dizer que a EDO é satisfeita em
porque a equação envolve
e este não está definido como número finito em
. Portanto não há intervalo onde
seja solução da EDO.
Em
Passo 5
Checagem alternativa rápida: forma geral das soluções da EDO linear homogênea.
A EDO pode ser escrita como
A EDO pode ser escrita como
é separável:
. Integrando obtemos
onde
é constante. Assim as soluções gerais são retas através da origem
. A função
não tem a forma linear
em nenhum intervalo de
, portanto não pode ser solução.
Passo 6
Conclusão final e incentivo: como vimos por substituição direta e pelo caráter das soluções gerais,
não satisfaz a equação diferencial em nenhum intervalo; então não é solução. Continua firme — essa verificação por substituição é a técnica direta que costumam pedir nas provas: calcular
, substituir e checar se obtemos zero.
Resposta
Não —
não é solução da equação diferencial
.