C. 10 pontos ( 9 subintervalos)
Aproxime
\int_{1}^{4} \frac{\sin (x)}{x} d x
utilizando a regra de Simpson 3 / 8 com 10 pontos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{1}^{4}\frac{\sin(x)}{x}\,dx
usando a regra de Simpson 3/8 composta com 10 pontos. Informações relevantes fornecidas:
  • Os limites de integração são a=1 e b=4.
  • Vamos usar 10 pontos, o que significa n=9 subintervalos (pois n= número de subintervalos = número de pontos -1).
  • A regra de Simpson 3/8 composta exige que n seja múltiplo de 3; aqui n=9 é múltiplo de 3, então podemos aplicar a regra composta normalmente.
  • Não há mais informações desconhecidas: podemos prosseguir.

Passo 2

Definimos o passo h e os pontos (nós) onde vamos avaliar a função. A fórmula do passo é
h=\frac{b-a}{n}.
Substituindo a=1, b=4 e n=9 obtemos
h=\frac{4-1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}=0,333333\ldots
Os 10 pontos são x_0,x_1,\dots,x_9 dados por
x_i=a+i h,\qquad i=0,1,\dots,9.
Então calculamos cada x_i:
\begin{aligned} x_0&=1,\\\ x_1&=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}=1,333333\ldots,\\\ x_2&=1+\tfrac{2}{3}=\tfrac{5}{3}=1,666667,\\\ x_3&=2,\\\ x_4&=\tfrac{7}{3}=2,333333\ldots,\\\ x_5&=\tfrac{8}{3}=2,666667,\\\ x_6&=3,\\\ x_7&=\tfrac{10}{3}=3,333333\ldots,\\\ x_8&=\tfrac{11}{3}=3,666667,\\\ x_9&=4. \end{aligned}

Passo 3

Apresento a fórmula da regra de Simpson 3/8 composta e explico os pesos. Para n subintervalos com n múltiplo de 3 (escrevendo n=3m), a regra composta é obtida somando a fórmula de Simpson 3/8 em blocos de três subintervalos. A fórmula composta fica
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Bigl(f(x_0)+f(x_n)+3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\pmod 3}}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\pmod 3}}^{n-3} f(x_i)\Bigr).
Explicando os termos:
  • f(x_0) e f(x_n) têm peso 1 (são as extremidades).
  • Os nós interiores cujo índice i não é múltiplo de 3 recebem peso 3.
  • Os nós cujo índice i é múltiplo de 3 (exceto as extremidades) recebem peso 2.
    Isto vem de somar blocos do tipo
\int_{x_{k}}^{x_{k+3}} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl(f(x_k)+3f(x_{k+1})+3f(x_{k+2})+f(x_{k+3})\bigr),
para k=0,3,6,\dots.

Passo 4

No nosso caso particular temos h=\tfrac{1}{3}. Logo o fator multiplicativo é
\frac{3h}{8}=\frac{3\cdot(1/3)}{8}=\frac{1}{8}=0,125.
Isso é conveniente: o prefactor simplifica para 1/8. Agora vamos avaliar f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x} nos 10 pontos x_0,\dots,x_9.

Passo 5

Calculamos f(x_i)=\dfrac{\sin(x_i)}{x_i} para cada i. Para obter as senoides em pontos não especiais usei aproximações via séries e relações trigonométricas (por exemplo, usar que \sin(\pi/2+\delta)=\cos(\delta) ou \sin(\pi+\delta)=-\sin(\delta)) para garantir precisão adequada. Aqui estão os valores aproximados (arredondados a 6 casas decimais nas componentes, usando a vírgula como separador decimal):
\begin{aligned} f(x_0)&=f(1)=\frac{\sin(1)}{1} \approx 0,841471,\\\ f(x_1)&=f\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)=\frac{\sin(4/3)}{4/3}\approx 0,728958,\\\ f(x_2)&=f\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)=\frac{\sin(5/3)}{5/3}\approx 0,597245,\\\ f(x_3)&=f(2)=\frac{\sin(2)}{2}\approx 0,454649,\\\ f(x_4&)=f\bigl(\tfrac{7}{3}\bigr)=\frac{\sin(7/3)}{7/3}\approx 0,309872,\\\ f(x_5)&=f\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr)=\frac{\sin(8/3)}{8/3}\approx 0,171476,\\\ f(x_6)&=f(3)=\frac{\sin(3)}{3}\approx 0,047040,\\\ f(x_7)&=f\bigl(\tfrac{10}{3}\bigr)=\frac{\sin(10/3)}{10/3}\approx -0,057170,\\\ f(x_8)&=f\bigl(\tfrac{11}{3}\bigr)=\frac{\sin(11/3)}{11/3}\approx -0,136656,\\\ f(x_9)&=f(4)=\frac{\sin(4)}{4}\approx -0,189201. \end{aligned}
Observações sobre como obtive alguns valores (exemplos didáticos):
  • Para x_1=\tfrac{4}{3} notei que \tfrac{4}{3}= \tfrac{\pi}{2}-0,237463\ldots, então \sin(4/3)=\cos(0,237463\ldots) e usei a série de Taylor para \cos para calcular com boa precisão.
  • Para x_5=\tfrac{8}{3} usei que \tfrac{8}{3}=\pi-0,474926\ldots, então \sin(8/3)=\sin(0,474926\ldots) e usei a série de Taylor para \sin.

Passo 6

Agora aplicamos a regra composta com os pesos. Primeiro identificamos os índices múltiplos de 3 (interiores): i=3,6. Esses têm peso 2. Os índices restantes interiores i=1,2,4,5,7,8 têm peso 3. Reunindo:
  • Soma das extremidades:
f(x_0)+f(x_9)\approx 0,841471 + (-0,189201)=0,652270.
  • Soma dos nós com índice múltiplo de 3 (peso 2):
f(x_3)+f(x_6)\approx 0,454649+0,047040=0,501689.
  • Soma dos outros nós interiores (peso 3):
f(x_1)+f(x_2)+f(x_4)+f(x_5)+f(x_7)+f(x_8) \approx 0,728958+0,597245+0,309872+0,171476-0,057170-0,136656 \approx 1,613724.

Passo 7

Montamos a combinação final dentro do colchete da fórmula:
\text{conteúdo} = \bigl(f(x_0)+f(x_9)\bigr) + 3\cdot(\text{soma dos nós índice}\not\equiv 0\pmod 3) + 2\cdot(\text{soma dos nós índice}\equiv 0\pmod 3).úóíóí
Substituindo os valores numéricos:
\text{conteúdo} \approx 0,652270 + 3\cdot 1,613724 + 2\cdot 0,501689.ú
Calcule cada termo:
3\cdot 1,613724 \approx 4,841172,\qquad 2\cdot 0,501689 \approx 1,003378.
Somando tudo:
\text{conteúdo} \approx 0,652270 + 4,841172 + 1,003378 \approx 6,496820.ú

Passo 8

Finalmente multiplicamos pelo prefator \dfrac{3h}{8}=\dfrac{1}{8}=0,125:
\int_{1}^{4}\frac{\sin(x)}{x}\,dx \approx \frac{1}{8}\cdot 6,496820 \approx 0,812103.
Assim obtemos a aproximação final. Observação motivadora: deu um número bem próximo ao valor conhecido via a função integral seno \operatorname{Si}(x), já que \int_{1}^{4}\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\operatorname{Si}(4)-\operatorname{Si}(1)\approx 0,8121, então a aproximação faz sentido.

Resposta

0,812103

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