C. 10 pontos ( 9 subintervalos)
Aproxime
utilizando a regra de Simpson
com 10 pontos.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando a regra de Simpson
composta com
pontos. Informações relevantes fornecidas:
- Os limites de integração são
e . - Vamos usar
pontos, o que significa subintervalos (pois número de subintervalos número de pontos ). - A regra de Simpson
composta exige que seja múltiplo de ; aqui é múltiplo de , então podemos aplicar a regra composta normalmente. - Não há mais informações desconhecidas: podemos prosseguir.
Passo 2
Definimos o passo
e os pontos (nós) onde vamos avaliar a função. A fórmula do passo é
Substituindo
,
e
obtemos
Os
pontos são
dados por
Então calculamos cada
:
Passo 3
Apresento a fórmula da regra de Simpson
composta e explico os pesos. Para
subintervalos com
múltiplo de
(escrevendo
), a regra composta é obtida somando a fórmula de Simpson
em blocos de três subintervalos. A fórmula composta fica
Explicando os termos:
-
e têm peso (são as extremidades). - Os nós interiores cujo índice
não é múltiplo de recebem peso . - Os nós cujo índice
é múltiplo de (exceto as extremidades) recebem peso .
Isto vem de somar blocos do tipo
para
.
Passo 4
No nosso caso particular temos
. Logo o fator multiplicativo é
Isso é conveniente: o prefactor simplifica para
. Agora vamos avaliar
nos
pontos
.
Passo 5
Calculamos
para cada
. Para obter as senoides em pontos não especiais usei aproximações via séries e relações trigonométricas (por exemplo, usar que
ou
) para garantir precisão adequada. Aqui estão os valores aproximados (arredondados a
casas decimais nas componentes, usando a vírgula como separador decimal):
Observações sobre como obtive alguns valores (exemplos didáticos):
- Para
notei que , então e usei a série de Taylor para para calcular com boa precisão. - Para
usei que , então e usei a série de Taylor para .
Passo 6
Agora aplicamos a regra composta com os pesos. Primeiro identificamos os índices múltiplos de
(interiores):
. Esses têm peso
. Os índices restantes interiores
têm peso
. Reunindo:
- Soma das extremidades:
- Soma dos nós com índice múltiplo de
(peso ):
- Soma dos outros nós interiores (peso
):
Passo 7
Montamos a combinação final dentro do colchete da fórmula:
Substituindo os valores numéricos:
Calcule cada termo:
Somando tudo:
Passo 8
Finalmente multiplicamos pelo prefator
:
Assim obtemos a aproximação final. Observação motivadora: deu um número bem próximo ao valor conhecido via a função integral seno
, já que
, então a aproximação faz sentido.