P5.39 O eixo de transmissão de um motor é feito de um material com tensão de cisalhamento admissível
. Se o diâmetro externo do eixo tubular é 20 mm e a espessura da parede
, determine a potência máxima admissível que pode ser fornecida ao motor quando o eixo está operando a uma velocidade angular de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a potência máxima admissível:
- Tensão de cisalhamento admissível:
. - Diâmetro externo do eixo tubular:
. - Espessura da parede:
. - Velocidade de rotação:
.
Pergunta: determinar a potência máxima admissível
quando o eixo opera a
.
Passo 2
Vamos entender a relação entre tensão de cisalhamento, torque e geometria do eixo.
Teoria essencial (a fórmula que usamos):
A tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular oco submetido a um torque é dada por
A tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular oco submetido a um torque
onde:
-
é o torque aplicado (em ), -
é o raio externo do eixo (em ), -
é o momento polar de inércia da seção transversal (em ).
Para um eixo tubular (seção anular) o momento polar de inércia pode ser escrito em função dos diâmetros como
onde
e
são os diâmetros externo e interno, respectivamente. Aqui as potências são em metros.
Explicando em palavras: a tensão de cisalhamento máxima cresce com o torque e com o raio externo, e diminui quando a seção tem um
maior (seção mais “resistente” à torção).
Passo 3
Converter unidades e encontrar o diâmetro interno.
Converter diâmetros para metros:
O diâmetro interno é o externo menos duas espessuras:
Calcular
e
:
Subtrair para obter a diferença:
Agora calcular
:
Fazendo a conta:
O raio externo
é
Passo 4
Calcular o torque máximo admissível usando
. Isolando
:
Converter
para
:
Substituindo os valores:
Calculemos passo a passo:
Portanto o torque máximo admissível é aproximadamente
.
Passo 5
Converter a velocidade de rotação para velocidade angular em rad/s e calcular a potência.
A relação entre rotação
em rev/min e velocidade angular
em rad/s é
Substituindo
:
A potência transmitida por um eixo é
Substituindo
e
:
Em kilowatts:
Passo 6
Resumo do raciocínio (para você levar pra prova): converteu diâmetros para metros, calculou
da seção tubular com
, usou
para achar
e depois
com
. Dá para fazer tudo à mão com atenção às potências de dez e às unidades.
Força aí — você já tem a resposta e o passo a passo completo para usar na prova!