P5.39 O eixo de transmissão de um motor é feito de um material com tensão de cisalhamento admissível \tau_{\text {adm }}=75 \mathrm{MPa}. Se o diâmetro externo do eixo tubular é 20 mm e a espessura da parede 2,5 \mathrm{~mm}, determine a potência máxima admissível que pode ser fornecida ao motor quando o eixo está operando a uma velocidade angular de 1.500 \mathrm{rev} / \mathrm{min}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a potência máxima admissível:
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\text{adm}}=75\\ \text{MPa}.
  • Diâmetro externo do eixo tubular: d_o=20\\ \text{mm}.
  • Espessura da parede: t=2{,}5\\ \text{mm}.
  • Velocidade de rotação: N=1\,500\\ \text{rev/min}.
Pergunta: determinar a potência máxima admissível P_{\max} quando o eixo opera a 1\,500\\ \text{rev/min}.

Passo 2

Vamos entender a relação entre tensão de cisalhamento, torque e geometria do eixo.
Teoria essencial (a fórmula que usamos):
A tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular oco submetido a um torque T é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque aplicado (em \mathrm{N\cdot m}),
  • c é o raio externo do eixo (em \mathrm{m}),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (em \mathrm{m^4}).
Para um eixo tubular (seção anular) o momento polar de inércia pode ser escrito em função dos diâmetros como
J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right),
onde d_o e d_i são os diâmetros externo e interno, respectivamente. Aqui as potências são em metros.
Explicando em palavras: a tensão de cisalhamento máxima cresce com o torque e com o raio externo, e diminui quando a seção tem um J maior (seção mais “resistente” à torção).

Passo 3

Converter unidades e encontrar o diâmetro interno.
Converter diâmetros para metros:
d_o=20\\ \text{mm}=0{,}020\\ \mathrm{m}.
O diâmetro interno é o externo menos duas espessuras:
d_i=d_o-2t=20-2\cdot 2{,}5=15\\ \text{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
Calcular d_o^4 e d_i^4:
d_o^4=(0{,}020)^4=1{,}6000\times10^{-7}\\ \mathrm{m^4},
d_i^4=(0{,}015)^4=5{,}0625\times10^{-8}\\ \mathrm{m^4}.
Subtrair para obter a diferença:
d_o^4-d_i^4=1{,}6000\times10^{-7}-5{,}0625\times10^{-8}=1{,}09375\times10^{-7}\\ \mathrm{m^4}.
Agora calcular J:
J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right)=\frac{\pi}{32}\cdot 1{,}09375\times10^{-7}\\ \mathrm{m^4}.
Fazendo a conta:
J\approx 1{,}07344\times10^{-8}\\ \mathrm{m^4}.
O raio externo c é
c=\frac{d_o}{2}=0{,}010\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o torque máximo admissível usando \tau_{\text{adm}}=\dfrac{T\,c}{J}. Isolando T:
T=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}.
Converter \tau_{\text{adm}} para \mathrm{Pa}:
\tau_{\text{adm}}=75\\ \text{MPa}=75\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Substituindo os valores:
T=\frac{75\times10^{6}\cdot 1{,}07344\times10^{-8}}{0{,}010}.
Calculemos passo a passo:
\frac{J}{c}=\frac{1{,}07344\times10^{-8}}{0{,}010}=1{,}07344\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3},
T=75\times10^{6}\cdot 1{,}07344\times10^{-6}=75\cdot 1{,}07344\approx80{,}508\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto o torque máximo admissível é aproximadamente T\approx80{,}508\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Converter a velocidade de rotação para velocidade angular em rad/s e calcular a potência.
A relação entre rotação N em rev/min e velocidade angular \omega em rad/s é
\omega=2\pi\frac{N}{60}.
Substituindo N=1\,500\\ \text{rev/min}:
\omega=2\pi\frac{1\,500}{60}=2\pi\cdot25=50\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx157{,}0796\\ \mathrm{rad/s}.
A potência transmitida por um eixo é
P=T\omega.
Substituindo T e \omega:
P\approx 80{,}508\cdot 157{,}0796\\ \mathrm{W}\approx12\,646{,}16\\ \mathrm{W}.
Em kilowatts:
P\approx12{,}65\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Resumo do raciocínio (para você levar pra prova): converteu diâmetros para metros, calculou J da seção tubular com \dfrac{\pi}{32}(d_o^4-d_i^4), usou \tau=\dfrac{T c}{J} para achar T e depois P=T\omega com \omega=2\pi N/60. Dá para fazer tudo à mão com atenção às potências de dez e às unidades.
Força aí — você já tem a resposta e o passo a passo completo para usar na prova!

Resposta

P_{\max}=12{,}65\\ \mathrm{kW}

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