Determine a função g(x) e todos os valores de c tais que
\int_{c}^{x} g(t) d t=x^{2}+x-6

Passo 1

O enunciado diz que
\int_{c}^{x} g(t)\,dt = x^{2} + x - 6,
e pede para encontrarmos a função g(x) e todos os valores de c que satisfazem essa igualdade. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para relacionar g à derivada do lado direito e depois impor a condição que surge em x=c.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(x) = \int_{c}^{x} g(t)\,dt,
então F'(x) = g(x). Logo,
g(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2} + x - 6\bigr).

Passo 3

Calculando a derivada do polinômio,
g(x) = 2x + 1.

Passo 4

Além disso, quando x = c, a integral
\int_{c}^{c} g(t)\,dt
vale 0. Assim, no lado direito devemos ter
c^{2} + c - 6 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática,
c^{2} + c - 6 = (c+3)(c-2) = 0
vemos que
c = 2 \quad\text{ou}\quad c = -3.

Resposta

g(x) = 2x + 1 e c = 2 ou c = -3.

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