O domínio da função f(x)=\operatorname{tg}\left(2 x-\frac{3 \pi}{2}\right) e a imagem de g(x)=\operatorname{sec} x são dados. respectivamente, por:
a) D=\left\{x \in I R ; x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\right\} e \operatorname{Im}=(-\infty,-1) \cup(1, \infty)
b) D=\left\{x \in I R ; x \neq \frac{\pi}{2}+2 k \pi, k \in Z\right\} e \operatorname{Im}=(-\infty,-1) \cup[1, \infty[
c) D=\left\{x \in I R ; x \neq \frac{\pi}{2}+\frac{k \pi}{2}, k \in Z\right\} e \left.\left.\operatorname{Im}=\right]-\infty,-1\right] \cup(1, \infty)
d) D=\left\{x \in I R ; x \neq \pi+\frac{k \pi}{2}, k \in Z\right\} e \left.\left.\operatorname{Im}=\right]-\infty,-1\right] \cup[1, \infty[
e) D=\left\{x \in I R ; x \neq \frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{4}, k \in Z\right\} e Im \left.\left.=\right]-\infty,-1\right] \cup[1, \infty[

Passo 1

O enunciado pede dois itens: o domínio de f(x)=\tan\bigl(2x-\tfrac{3\pi}{2}\bigr) e a imagem de g(x)=\operatorname{sec} x. O conteúdo envolvido é: (i) domínio de função tangente, que exige que o argumento não seja \tfrac{\pi}{2}+k\pi; (ii) imagem de função secante, que é o recíproco do cosseno.

Passo 2

Para f(x)=\tan\bigl(2x-\tfrac{3\pi}{2}\bigr) a condição de existência é
2x-\frac{3\pi}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Somando \tfrac{3\pi}{2} em ambos os lados:
2x\neq 2\pi+k\pi \quad\Longrightarrow\quad 2x\neq \pi(2+k) \quad\Longrightarrow\quad x\neq \frac{\pi(2+k)}{2}.
Como k percorre todos os inteiros, podemos reescrever 2+k também como qualquer inteiro, de modo que
\text{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R};\,x\neq m\tfrac{\pi}{2},\;m\in\mathbb{Z}\}.

Passo 3

Uma forma equivalente de descrever esse conjunto é
\{x\in\mathbb{R};\,x\neq \pi + k\,\tfrac{\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}\},
pois \pi+k\frac{\pi}{2}=(2+k)\frac{\pi}{2} abrange todos os múltiplos de \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Para g(x)=\operatorname{sec} x=1/\cos x, sabemos que \cos x\in[-1,1] mas \cos x\neq0. Logo
\operatorname{sec} x\le -1\quad\text{ou}\quad\operatorname{sec} x\ge1,
e como \cos x=\pm1 em certos pontos, esses valores \pm1 são atingidos. Assim
\operatorname{Im}(g)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).

Passo 5

Comparando com as alternativas, a única que combina
\text{Domínio }x\neq \pi+k\,\tfrac{\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z} \quad\text{e}\quad \operatorname{Im}(g)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty)í
é a alternativa (d).

Resposta

d) D=\{x\in\mathbb{R};\,x\neq \pi+\tfrac{k\pi}{2},\,k\in\mathbb{Z}\} e \operatorname{Im}=(-\infty,-1]\cup[1,\infty)

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