Determine a função inversa em cada caso:
f(x)=2 x+1x-1(f: R-1 R-2).

Passo 1

A função dada é f(x)=2x+1x-1 com domínio Rsetminus1 e imagem Rsetminus2. Para achar a inversa de uma função racional, a gente troca x por y, resolve em termos de y e depois renomeia.

Passo 2

Começamos escrevendo y=2x+1x-1 e multiplicamos ambos os lados por x-1:
y(x-1)=2x+1
Expandindo:
yx - y = 2x + 1
Passando os termos que contêm x para um lado:
yx - 2x = y + 1
Fatorando x:
x(y - 2) = y + 1
Isolando x:
x = y + 1y - 2
Isso mostra a expressão da inversa em função de y.

Passo 3

Renomeando y para x, a inversa é f^-1(x)=x+1x-2. O domínio de f^-1 é Rsetminus2 e sua imagem é Rsetminus1.

Resposta

f^-1(x)=x+1x-2

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