Determine a função inversa de cada uma das funções abaixo e seu Domínio:
f(x)=\frac{x-2}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x-2}{2x+3}
e pede a sua inversa f^{-1} e o domínio dessa inversa. O conteúdo principal aqui é resolver uma equação para trocar x e y e encontrar a expressão de f^{-1}, além de analisar quais valores são proibidos pelo denominador.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f. Como o denominador não pode ser zero, temos
2x+3\neq0
logo
x\neq -\tfrac32.
Portanto
\Dom(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{-\tfrac32\right\}.

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos y=f(x) e resolvemos para x:
y = \frac{x-2}{2x+3} \quad\Longrightarrow\quad y(2x+3)=x-2 \quad\Longrightarrow\quad 2xy+3y = x-2.
Agrupando os termos com x:
2xy - x = -3y - 2 \quad\Longrightarrow\quad x(2y-1) = -3y - 2.
Como 2y-1\neq0 (veremos o motivo em seguida), isolamos
x = \frac{-3y - 2}{2y - 1} = \frac{3y+2}{1-2y}.
Agora trocamos y por x para obter f^{-1}:
f^{-1}(x) = \frac{3x+2}{1-2x}.

Passo 4

O domínio de f^{-1} são todos os x que não anulam o denominador 1-2x:
1-2x\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq \tfrac12.
Logo
\Dom\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac12\right\}.

Resposta

A função inversa é
f^{-1}(x)=\frac{3x+2}{1-2x},
com
\Dom\bigl(f^{-1}\bigr)=\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac12\right\}.

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