Determine a função inversa e a condição de existência da função: f(x)=\frac{x+2}{x-1}.
R: f^{-1}(x)=\frac{x+2}{x-1}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x+2}{x-1}
e pede a inversa f^{-1} e a condição de existência dessa inversa. Vamos usar domínio, injetividade (derivada) e resolução algébrica para encontrar f^{-1}(x).

Passo 2

Determinar o domínio natural de f. Como há divisão por x-1, deve-se ter
x-1 \neq 0
ou seja
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 3

Verificar injetividade: calculemos a derivada
f'(x)=\frac{(x-1)\cdot1-(x+2)\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2}.
Como (x-1)^2>0 para todo x\neq1, temos f'(x)<0 e, portanto, f é estritamente decrescente em \mathbb{R}\setminus\{1\}. Logo, é injetiva.

Passo 4

Encontrar a imagem (contradomínio efetivo) de f. Seja
y=\frac{x+2}{x-1}.
Procuramos valores de y que não sejam atingidos resolvendo
\frac{x+2}{x-1}=1 \quad\Longrightarrow\quad x+2=x-1 \quad\Longrightarrow\quad 2=-1,
que não tem solução. Logo y\neq1 e
\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Como f é bijetora de \mathbb{R}\setminus\{1\} em \mathbb{R}\setminus\{1\}, a inversa existe com domínio \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 5

Calcular a inversa algébrica: escreva
y=\frac{x+2}{x-1},
troque x\leftrightarrow y e resolva para y:
x=\frac{y+2}{y-1} \quad\Longrightarrow\quad x(y-1)=y+2 \quad\Longrightarrow\quad xy-x=y+2 \quad\Longrightarrow\quad y(x-1)=x+2 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{x+2}{x-1}.
Portanto,
f^{-1}(x)=\frac{x+2}{x-1},
com domínio \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{x-1},\quad x\neq1

Exercícios relacionados