Determine a função inversa e a condição de existência da função:
.
R:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a inversa
e a condição de existência dessa inversa. Vamos usar domínio, injetividade (derivada) e resolução algébrica para encontrar
.
Passo 2
Determinar o domínio natural de
. Como há divisão por
, deve-se ter
ou seja
Passo 3
Verificar injetividade: calculemos a derivada
Como
para todo
, temos
e, portanto,
é estritamente decrescente em
. Logo, é injetiva.
Passo 4
Encontrar a imagem (contradomínio efetivo) de
. Seja
Procuramos valores de
que não sejam atingidos resolvendo
que não tem solução. Logo
e
Como
é bijetora de
em
, a inversa existe com domínio
.
Passo 5
Calcular a inversa algébrica: escreva
troque
e resolva para
:
Portanto,
com domínio
.