Determine o Dominio, a Imagem c esboce o gráfico de:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-3, \text { se } \mathrm{x} \leq-2 \\\\ -x^{2}, \text { se }-2<\mathrm{x} \leq 1 \\\\ 4-x, \text { se } \mathrm{x}>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x-3,& x\le -2,\\\\ -\,x^{2},& -2<x\le1,\\\\ 4-x,& x>1, \end{cases}
e pede domínio, imagem e esboço do gráfico. Vamos usar a definição de domínio como a união dos intervalos de validade de cada pedaço, e a imagem como o conjunto de valores que f(x) atinge, analisando cada ramo separadamente.

Passo 2

Determinar o domínio é reunir todos os x para os quais f está definida. Cada pedaço cobre
  • x\le -2
  • -2< x\le1
  • x>1
    Logo o domínio é
(-\infty,-2]\;\cup\;(-2,1]\;\cup\;(1,\infty)=\mathbb{R}.

Passo 3

Analisar a imagem do ramo x-3 em x\le -2:
quando x\to-\infty, x-3\to -\infty, e em x=-2 temos f(-2)=-5.
Portanto esse ramo gera
(-\infty,-5].

Passo 4

Analisar a imagem do ramo -x^2 em -2< x\le1:
  • Em x\to-2^+, -x^2\to -4 (não atinge porque x>-2).
  • Em x=0, -x^2=0 (valor máximo nesse intervalo).
  • Em x=1, -1 (valor atingido).
    Logo esse ramo produz
(-4,0].

Passo 5

Analisar a imagem do ramo 4-x em x>1:
quando x\to1^+, 4-x\to3 (não atinge porque x>1), e quando x\to+\infty, 4-x\to-\infty.
Logo esse ramo gera
(-\infty,3).

Passo 6

Unir as imagens dos três ramos:
(-\infty,-5]\;\cup\;(-4,0]\;\cup\;(-\infty,3) \;=\;(-\infty,3).
Note que o segundo ramo não atinge valores acima de 0, mas o terceiro ramo cobre todos os valores de -\infty até 3, então a imagem total é todo o intervalo (-\infty,3).

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Para x\le-2, desenhe a reta y=x-3 até o ponto fechado (-2,-5).
  • Em -2, na parábola y=-x^2, marque ponto aberto em (-2,-4), e siga a curva até o ponto fechado (1,-1).
  • Para x>1, desenhe a reta y=4-x começando em ponto aberto (1,3) e estendendo para a direita decrescendo.
    Assim teremos três pedaços ligados por pontos abertos/fechados conforme a definição de f.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,3)
Gráfico: conjunto dos três pedaços descritos no Passo 7.

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