Determine a função inversa de cada uma das funções abaixo e seu Domínio:
f(x)=\sqrt{x}+9

Passo 1

Temos a função
f(x)=\sqrt{x}+9
O domínio natural de f é o conjunto de todos os x para os quais \sqrt{x} está definido, ou seja,
\{x\mid x\ge0\}.
A imagem de f (que será o domínio da inversa) é dada por \sqrt{x}\ge0 somado a 9, logo
f(x)\ge9.

Passo 2

Para encontrar a inversa, comece trocando x e y:
y=\sqrt{x}+9.
Em seguida, isole a raiz:
y-9=\sqrt{x}.
Para eliminar a raiz, eleve ambos os lados ao quadrado, lembrando de manter a condição de não-negatividade:
(y-9)^2 = x,\qquad y-9\ge0\implies y\ge9.

Passo 3

Agora, revertendo a troca de variáveis y volta a ser x, obtemos a função inversa em forma explícita:
f^{-1}(x) = (x-9)^2.

Passo 4

O domínio de f^{-1} é a imagem de f, isto é, todos os valores de x que satisfazem x\ge9.

Resposta

f^{-1}(x) = (x-9)^2,\quad \text{Domínio: }[9,\infty).í

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