Sejam f(x)=\left\{\begin{array}{l}5 x, \text { se } x \leq 0 \\\\ -x, \text { se } 0<x \leq 8 \text { e } g(x)=x^{3} \\\ \sqrt{x}, \text { se } x>8\end{array}\right.. Calcule (f \circ g)(x) e (g \circ f)(x)
\mathrm{R}:(f \circ g)(x)=\left\{\begin{array}{l}5 x^{3}, \text { se } x \leq 0 \\\\ -x^{3}, \text { se } 0<x \leq 2 \\\ \sqrt{x^{3}}, \text { se } x>2\end{array} \quad\right. e \quad(g \circ f)(x)=\left\{\begin{array}{l}125 x^{3}, \text { se } x \leq 0 \\\\ -x^{3}, \text { se } 0<x \leq 8 \\\ \sqrt{x^{3}}, \text { se } x>8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} 5x, & x\le 0,\\\\ -x, & 0<x\le 8,\\\ \sqrt{x}, & x>8, \end{cases}
e
g(x)=x^3.
Queremos as composições (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) e (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).

Passo 2

Calcular (f\circ g)(x)=f\bigl(x^3\bigr).
Para isso, verificamos em que intervalos de x vale cada ramo de f, substituindo x por x^3:
  • Se x^3\le 0, isto é, x\le 0, então
(f\circ g)(x)=5\,(x^3)=5x^3.
  • Se 0<x^3\le 8, isto é, 0<x\le 2, então
(f\circ g)(x)=-\,(x^3)=-x^3.
  • Se x^3>8, isto é, x>2, então
(f\circ g)(x)=\sqrt{x^3}=x^{3/2}.

Passo 3

Calcular (g\circ f)(x)=\bigl(f(x)\bigr)^3.
Agora consideramos o valor de f(x) em cada região de x:
  • Se x\le 0, então f(x)=5x, logo
(g\circ f)(x)=(5x)^3=125x^3.
  • Se 0<x\le 8, então f(x)=-x, logo
(g\circ f)(x)=(-x)^3=-x^3.
  • Se x>8, então f(x)=\sqrt{x}, logo
(g\circ f)(x)=\bigl(\sqrt{x}\bigr)^3=x^{3/2}.

Resposta

(f\circ g)(x)= \begin{cases} 5x^3, & x\le 0,\\\\ -\,x^3, & 0<x\le 2,\\\ x^{3/2}, & x>2, \end{cases} \qquad (g\circ f)(x)= \begin{cases} 125x^3, & x\le 0,\\\\ -\,x^3, & 0<x\le 8,\\\ x^{3/2}, & x>8. \end{cases}

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