Suponha que a sequencia
tenha a propriedade que
[a] Calcule os primeiros 10 termos da sequencia
[b] Essa sequencia possui limite
[c] Calcule o limite
[b] Essa sequencia possui limite
[c] Calcule o limite
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida pela relação de recorrência
com as condições iniciais
Como eu não sei qual é esse último número da sua matrícula, vou chamá‑lo de
. Ou seja,
O que o problema pede:
- [a] Calcular os primeiros 10 termos da sequência (em função de
se necessário). - [b] Dizer se a sequência possui limite.
- [c] Calcular esse limite (em função de
se necessário).
Passo 2
Entender o tipo de recorrência e a técnica que vamos usar (passo didático curto e direto).
A recorrência é linear, homogênea e de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão é procurar uma solução da forma . Substituindo na recorrência obtemos a equação característica (explico o porquê em seguida):
A recorrência é linear, homogênea e de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão é procurar uma solução da forma
Multiplicando por
e reescrevendo, obtemos o polinômio característico:
Explicação rápida: assumimos soluções exponenciais porque uma combinação linear com deslocamentos (como nesta recorrência) transforma-se numa equação para potências; as raízes dessa equação determinam a forma geral da solução.
Passo 3
Resolver a equação característica. Calcula‑se as raízes de
Usando a fórmula quadrática:
Portanto as raízes são
Passo 4
Escrever a solução geral da recorrência e introduzir as constantes a determinar.
Como as raízes são distintas, a solução geral tem a forma
Como as raízes são distintas, a solução geral tem a forma
onde
e
são constantes que se determinam pelas condições iniciais. Explico: cada raiz gera um termo exponencial; quando a raiz é
isso dá uma constante
; quando a raiz é
surge o termo oscilante
.
Passo 5
Determinar
e
usando
e
. Substituindo
e
:
Resolvendo esse sistema linear: subtrair a primeira equação da segunda multiplicada apropriadamente ou resolver por eliminação. Por exemplo, da primeira obtemos
. Substituindo na segunda:
Isolando
:
Então
Passo 6
Escrever a forma fechada final da sequência usando
e
:
Comentário didático: essa fórmula permite calcular qualquer termo diretamente (sem iterar a recorrência). Note que o segundo termo envolve
, que é o responsável por oscilações decrescentes (porque
).
Passo 7
Calcular os primeiros 10 termos explicitamente em função de
usando a recorrência (é muitas vezes mais fácil para os primeiros termos usar a própria definição). Usando
,
e
obtemos:
Cada linha foi obtida aplicando diretamente a fórmula
e simplificando frações; isso é exatamente o que dá para fazer na prova sem calculadora (manipulação de frações e somas).]
Passo 8
Responder [b] e [c]: existência do limite e cálculo do limite.
Observe na forma fechada que o segundo termo tem fator , cuja magnitude tende a zero quando
porque
. Portanto a parte oscilante desaparece no limite e sobra a constante
. Logo:
Observe na forma fechada que o segundo termo tem fator
- A sequência possui limite (sim).
- O limite é exatamente
. Ou seja,
Exemplo numérico rápido para motivar: se o último dígito da matrícula for
, o limite será
.
Resposta
Sim