Suponha que a sequencia \left\{a_{n}\right\} tenha a propriedade que
a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+a_{n-1}\right), \text { em que, } a_{1}=2 \mathrm{e} a_{2}=\text { último numero da sua matrícula }úí
[a] Calcule os primeiros 10 termos da sequencia
[b] Essa sequencia possui limite
[c] Calcule o limite

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} definida pela relação de recorrência
a_{n+1}=\tfrac{1}{2}\bigl(a_n+a_{n-1}\bigr),
com as condições iniciais
a_1=2\quad\text{e}\quad a_2=\text{último número da sua matrícula}.úúí
Como eu não sei qual é esse último número da sua matrícula, vou chamá‑lo de \,d. Ou seja,
a_2=d,\qquad d\in\{0,1,2,\dots,9\}.
O que o problema pede:
  • [a] Calcular os primeiros 10 termos da sequência (em função de \,d se necessário).
  • [b] Dizer se a sequência possui limite.
  • [c] Calcular esse limite (em função de \,d se necessário).

Passo 2

Entender o tipo de recorrência e a técnica que vamos usar (passo didático curto e direto).
A recorrência é linear, homogênea e de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão é procurar uma solução da forma \,a_n=r^n. Substituindo na recorrência obtemos a equação característica (explico o porquê em seguida):
r^{n+1}=\tfrac{1}{2}\bigl(r^n+r^{n-1}\bigr)\quad\Longrightarrow\quad r^2=\tfrac{1}{2}(r+1).
Multiplicando por 2 e reescrevendo, obtemos o polinômio característico:
r^2-\tfrac{1}{2}r-\tfrac{1}{2}=0.
Explicação rápida: assumimos soluções exponenciais porque uma combinação linear com deslocamentos (como nesta recorrência) transforma-se numa equação para potências; as raízes dessa equação determinam a forma geral da solução.

Passo 3

Resolver a equação característica. Calcula‑se as raízes de
r^2-\tfrac{1}{2}r-\tfrac{1}{2}=0.
Usando a fórmula quadrática:
r=\frac{\tfrac{1}{2}\pm\sqrt{\tfrac{1}{4}+2}}{2}=\frac{\tfrac{1}{2}\pm\sqrt{\tfrac{9}{4}}}{2}=\frac{\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{3}{2}}{2}.
Portanto as raízes são
r_1=1\qquad\text{e}\qquad r_2=-\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Escrever a solução geral da recorrência e introduzir as constantes a determinar.
Como as raízes são distintas, a solução geral tem a forma
a_n = A\cdot 1^n + B\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n}=A + B\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n},
onde A e B são constantes que se determinam pelas condições iniciais. Explico: cada raiz gera um termo exponencial; quando a raiz é 1 isso dá uma constante A; quando a raiz é -\tfrac12 surge o termo oscilante B(-\tfrac12)^n.

Passo 5

Determinar A e B usando a_1=2 e a_2=d. Substituindo n=1 e n=2:
a_1 = A + B\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^1 = A - \tfrac{1}{2}B = 2,
a_2 = A + B\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^2 = A + \tfrac{1}{4}B = d.
Resolvendo esse sistema linear: subtrair a primeira equação da segunda multiplicada apropriadamente ou resolver por eliminação. Por exemplo, da primeira obtemos A = 2 + \tfrac{1}{2}B. Substituindo na segunda:
2 + \tfrac{1}{2}B + \tfrac{1}{4}B = d \quad\Longrightarrow\quad 2 + \tfrac{3}{4}B = d.
Isolando B:
B = \tfrac{4}{3}(d-2).
Então
A = 2 + \tfrac{1}{2}B = 2 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4}{3}(d-2)=2+\tfrac{2}{3}(d-2)=\tfrac{2(1+d)}{3}.

Passo 6

Escrever a forma fechada final da sequência usando A e B:
\boxed{\,a_n = \tfrac{2(1+d)}{3} \;+\; \tfrac{4}{3}(d-2)\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n}\,.}
Comentário didático: essa fórmula permite calcular qualquer termo diretamente (sem iterar a recorrência). Note que o segundo termo envolve \bigl(-\tfrac12\bigr)^n, que é o responsável por oscilações decrescentes (porque |-1/2|<1).

Passo 7

Calcular os primeiros 10 termos explicitamente em função de d usando a recorrência (é muitas vezes mais fácil para os primeiros termos usar a própria definição). Usando a_1=2, a_2=d e
a_{n+1}=\tfrac{1}{2}(a_n+a_{n-1}),
obtemos:
\begin{aligned} a_1&=2,\\[4pt] a_2&=d,\\[4pt] a_3&=\tfrac{1}{2}(a_2+a_1)=\tfrac{1}{2}(d+2)=\tfrac{d+2}{2},\\[4pt] a_4&=\tfrac{1}{2}(a_3+a_2)=\tfrac{3d+2}{4},\\[4pt] a_5&=\tfrac{1}{2}(a_4+a_3)=\tfrac{5d+6}{8},\\[4pt] a_6&=\tfrac{1}{2}(a_5+a_4)=\tfrac{11d+10}{16},\\[4pt] a_7&=\tfrac{1}{2}(a_6+a_5)=\tfrac{21d+22}{32},\\[4pt] a_8&=\tfrac{1}{2}(a_7+a_6)=\tfrac{43d+42}{64},\\[4pt] a_9&=\tfrac{1}{2}(a_8+a_7)=\tfrac{85d+86}{128},\\[4pt] a_{10}&=\tfrac{1}{2}(a_9+a_8)=\tfrac{171d+170}{256}. \end{aligned}
Cada linha foi obtida aplicando diretamente a fórmula a_{n+1}=\tfrac12(a_n+a_{n-1}) e simplificando frações; isso é exatamente o que dá para fazer na prova sem calculadora (manipulação de frações e somas).]

Passo 8

Responder [b] e [c]: existência do limite e cálculo do limite.
Observe na forma fechada que o segundo termo tem fator \bigl(-\tfrac12\bigr)^n, cuja magnitude tende a zero quando n\to\infty porque |-1/2|<1. Portanto a parte oscilante desaparece no limite e sobra a constante A. Logo:
  • A sequência possui limite (sim).
  • O limite é exatamente A=\dfrac{2(1+d)}{3}. Ou seja,
\boxed{\lim_{n\to\infty} a_n = \tfrac{2(1+d)}{3}.}
Exemplo numérico rápido para motivar: se o último dígito da matrícula for d=3, o limite será \tfrac{2(1+3)}{3}=\tfrac{8}{3}\approx 2{,}666\ldots.

Resposta

a_1=2
a_2=d
a_3=\dfrac{d+2}{2}
a_4=\dfrac{3d+2}{4}
a_5=\dfrac{5d+6}{8}
a_6=\dfrac{11d+10}{16}
a_7=\dfrac{21d+22}{32}
a_8=\dfrac{43d+42}{64}
a_9=\dfrac{85d+86}{128}
a_{10}=\dfrac{171d+170}{256}
Sim
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\dfrac{2(1+d)}{3}

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