Calcule as integrais definidas.
integral-1^2 x^3 raiz1+x^2 d x.

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral definida integral-1^2 x^3 raiz1+x^2,dx. O tema é integração por substituição, e precisaremos usar uma substituição que simplifique a raiz raiz1+x^2.

Passo 2

Observe que se fizermos a substituição u = 1 + x^2, então du = 2x,dx ou x,dx = tfrac12du. Além disso, podemos escrever x^3,dx = x^2 cdot x,dx e notar que x^2 = u - 1. Assim, a integral original se transforma.
Substituindo na integral, temos
integral x^3 raiz1+x^2,dx = integral (u-1),u^1/2cdot 12,du = 12 integral (u^3/2 - u^1/2),du
Agora basta integrar termo a termo.

Passo 3

Calculando a antiderivada, obtemos
12gl(u^5/25/2 - u^3/23/2gr) = 15u^5/2 - 13u^3/2
Voltando à variável x, a primitiva é
F(x) = 15(1+x^2)^5/2 - 13(1+x^2)^3/2

Passo 4

Agora avaliamos nos limites. Para x=2 temos u=5 e
F(2) = 15,5^5/2 - 13,5^3/2 = 5raiz5 - 5raiz53 = 10raiz53
Para x=-1 temos u=2 e
F(-1) = 15,2^5/2 - 13,2^3/2 = 4raiz25 - 2raiz23 = 2raiz215

Passo 5

Subtraindo F(2) - F(-1), obtemos
10raiz53 - 2raiz215 = 50raiz5 - 2raiz215
Essa é o valor da integral definida.

Resposta

dfrac50raiz5 - 2raiz215

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