Determine a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} cujo gráfico passa pelo ponto (0,0,2) e tal que
\nabla f(x, y)=\left(\frac{x}{1+x^{2}+y^{2}}, \frac{y}{1+x^{2}+y^{2}}+y e^{y^{2}}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que o gráfico de f passa pelo ponto (0,0,2) e satisfaz
\nabla f(x,y)=\left(\frac{x}{1+x^{2}+y^{2}},\;\frac{y}{1+x^{2}+y^{2}}+y e^{y^{2}}\right).
As informações relevantes fornecidas são:
\text{componente }x:\quad \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x}{1+x^{2}+y^{2}},
\text{componente }y:\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y}{1+x^{2}+y^{2}}+y e^{y^{2}},
e a condição de ponto:
f(0,0)=2.
A tarefa é encontrar explicitamente a expressão de f(x,y) que satisfaz essas duas equações parciais e a condição no ponto.

Passo 2

Conceito útil (mini-aula): quando uma função f(x,y) tem gradiente dado por um campo vetorial (P(x,y),Q(x,y)), isso significa
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y).
Se o campo é conservativo (isto é, existe f com essas derivadas), então as derivadas cruzadas coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Esse teste nos garante que podemos obter f integrando P em x (obtendo uma primitiva com uma “constante” que pode depender de y) ou integrando Q em y (com constante dependendo de x). Depois ajustamos essa função (a “constante”) comparando com a outra derivada.

Passo 3

Vamos aplicar o teste de integrabilidade para garantir que o campo é gradiente de alguma f.
Defina
P(x,y)=\frac{x}{1+x^{2}+y^{2}}, \qquad Q(x,y)=\frac{y}{1+x^{2}+y^{2}}+y e^{y^{2}}.
Calculemos \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}. Tomando derivada de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{1+x^{2}+y^{2}}\right) = x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left((1+x^{2}+y^{2})^{-1}\right).
Usando a regra da cadeia, \frac{d}{dy}(u^{-1})=-u^{-2}u' com u=1+x^2+y^2 e u'=2y, obtemos
\frac{\partial P}{\partial y} = x\cdot\left(-1\right)\cdot(1+x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2y = -\frac{2xy}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora calculemos \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}. Note que o termo y e^{y^{2}} não depende de x, então só a primeira parcela contribui:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{1+x^{2}+y^{2}}\right) = y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left((1+x^{2}+y^{2})^{-1}\right).
Com a mesma regra da cadeia e \frac{d}{dx}(1+x^2+y^2)=2x, obtemos
\frac{\partial Q}{\partial x} = y\cdot\left(-1\right)\cdot(1+x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x = -\frac{2xy}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.
Como
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},
o campo é conservativo e existe f com as derivadas dadas. Podemos prosseguir integrando.

Passo 4

Integração em x: vamos encontrar f integrando P(x,y) em relação a x, tratando y como constante.
Queremos calcular
\int \frac{x}{1+x^{2}+y^{2}}\,dx.
Faça a substituição clássica u=1+x^{2}+y^{2}. Então du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{x}{1+x^{2}+y^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + \text{const}.
Voltando a x,y,
\int \frac{x}{1+x^{2}+y^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big) + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
Portanto uma primitiva em x é
f(x,y)=\frac{1}{2}\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big)+C(y).

Passo 5

Agora determinamos C(y) usando a condição sobre \partial f/\partial y.
Calcule \partial f/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^{2}+y^{2})\right) + C'(y).
A derivada do logaritmo: \frac{d}{dy}\ln(1+x^{2}+y^{2})=\frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}. Multiplicando por \tfrac{1}{2} \tfrac{y}{1+x^{2}+y^{2}}. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{1+x^{2}+y^{2}}+C'(y).
Mas sabemos pelo enunciado que
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{1+x^{2}+y^{2}}+y e^{y^{2}}.
Comparando as duas expressões, os termos \tfrac{y}{1+x^{2}+y^{2}} cancelam, restando
C'(y)=y e^{y^{2}}.

Passo 6

Integre C'(y)=y e^{y^{2}} para obter C(y).
Faça a substituição simples t=y^{2}, então dt=2y\,dy e y\,dy=\tfrac{1}{2}dt. Assim
\int y e^{y^{2}}\,dy = \int e^{t}\cdot \tfrac{1}{2}\,dt = \tfrac{1}{2}e^{t}+ \text{const} = \tfrac{1}{2}e^{y^{2}} + \text{const}.
Portanto
C(y)=\frac{1}{2}e^{y^{2}}+k,
onde k é uma constante real (independente de x e y).
Substituindo de volta, obtemos uma expressão para f (ainda com constante k):
f(x,y)=\frac{1}{2}\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big) + \frac{1}{2}e^{y^{2}} + k.

Passo 7

Use a condição do ponto (0,0,2) para determinar k.
Avalie f em (0,0):
f(0,0)=\frac{1}{2}\ln(1+0+0)+\frac{1}{2}e^{0}+k =\frac{1}{2}\ln(1)+\frac{1}{2}\cdot 1 + k.
Como \ln(1)=0, isso dá
f(0,0)=\frac{1}{2}+k.
Pelo enunciado f(0,0)=2. Então
\frac{1}{2}+k=2 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{3}{2}.

Passo 8

Concluímos que a constante é k=\tfrac{3}{2}. A função procurada, com k substituído, será apresentada no campo de resposta final.

Resposta

f(x,y)=\frac{1}{2}\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big)+\frac{1}{2}e^{y^{2}}+\frac{3}{2}.

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