Determine a função
cujo gráfico passa pelo ponto
e tal que
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma função
tal que o gráfico de
passa pelo ponto
e satisfaz
As informações relevantes fornecidas são:
e a condição de ponto:
A tarefa é encontrar explicitamente a expressão de
que satisfaz essas duas equações parciais e a condição no ponto.
Passo 2
Conceito útil (mini-aula): quando uma função
tem gradiente dado por um campo vetorial
, isso significa
Se o campo é conservativo (isto é, existe
com essas derivadas), então as derivadas cruzadas coincidem:
Esse teste nos garante que podemos obter
integrando
em
(obtendo uma primitiva com uma “constante” que pode depender de
) ou integrando
em
(com constante dependendo de
). Depois ajustamos essa função (a “constante”) comparando com a outra derivada.
Passo 3
Vamos aplicar o teste de integrabilidade para garantir que o campo é gradiente de alguma
.
Defina
Calculemos
. Tomando derivada de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia,
com
e
, obtemos
Agora calculemos
. Note que o termo
não depende de
, então só a primeira parcela contribui:
Com a mesma regra da cadeia e
, obtemos
Como
o campo é conservativo e existe
com as derivadas dadas. Podemos prosseguir integrando.
Passo 4
Integração em
: vamos encontrar
integrando
em relação a
, tratando
como constante.
Queremos calcular
Faça a substituição clássica
. Então
, logo
. Assim
Voltando a
,
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Portanto uma primitiva em
é
Passo 5
Agora determinamos
usando a condição sobre
.
Calcule
a partir da expressão obtida:
A derivada do logaritmo:
. Multiplicando por
dá
. Logo
Mas sabemos pelo enunciado que
Comparando as duas expressões, os termos
cancelam, restando
Passo 6
Integre
para obter
.
Faça a substituição simples
, então
e
. Assim
Portanto
onde
é uma constante real (independente de
e
).
Substituindo de volta, obtemos uma expressão para
(ainda com constante
):
Passo 7
Use a condição do ponto
para determinar
.
Avalie
em
:
Como
, isso dá
Pelo enunciado
. Então
Passo 8
Concluímos que a constante é
. A função procurada, com
substituído, será apresentada no campo de resposta final.