Encontre o campo elétrico dentro e fora a uma distância
do centro de uma superfície esférica de raio
, que tem uma distribuição superficial de carga elétrica uniforme. Expresse sua resposta em termos da carga total
na esfera.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre o campo elétrico no ponto
que fica a uma distância
do centro de uma esfera de raio
cuja carga está distribuída uniformemente sobre a superfície (isto é, é uma casca esférica com carga total
). As perguntas implícitas são:
- Qual é
para (ponto dentro da casca)? - Qual é
para (ponto fora da casca)?
Informações dadas:
- Raio da casca:
. - Carga total na superfície:
. - Distribuição de carga: superficial e uniforme (mesma densidade em toda a superfície).
- Quer-se a resposta expressa em termos de
e da distância .
Passo 2
Ideia do método e formula básica (explicação didática): vou usar a forma integral da lei que relaciona campo elétrico e carga dentro de uma superfície fechada. A lei é
onde:
-
é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada, -
é a carga total contida dentro dessa superfície fechada, -
é a permissividade do vácuo (constante).
Explicação do porquê funciona aqui: por simetria esférica (a casca tem carga distribuída uniformemente), se eu escolher uma superfície gaussiana esférica concêntrica com a casca, o campo elétrico terá direção radial e o mesmo valor em todos os pontos dessa superfície. Isso simplifica a integral do lado esquerdo paravezes a área da esfera gaussiana.
Passo 3
Caso fora da casca (
) — escolha da superfície e cálculo:
- Escolho uma esfera gaussiana de raio
(mesmo centro da casca). - A carga total contida dentro dessa superfície é
porque a casca inteira está dentro.
Pelo argumento de simetria,é radial e de módulo constante sobre a esfera gaussiana, então
Aplicando a lei:
Isolando
:
Substituindo
e escrevendo em forma vetorial (direção radial, saída se
):
Comentário didático: este resultado mostra que, fora da casca, o campo é idêntico ao de uma carga pontual
colocada no centro.
Passo 4
Caso dentro da casca (
) — escolha da superfície e argumento:
- Escolho uma esfera gaussiana de raio
, concêntrica com a casca. - Como toda a carga está sobre a superfície de raio
, não há carga dentro da esfera de raio . Assim .
Aplicando a lei:
Portanto
Explicação física simples: as contribuições de todas as partes da casca se cancelam no interior, resultando em campo zero.
Passo 5
Observação sobre a superfície (
) — descontinuidade do campo:
- No limite de fora (
) temos . - No limite de dentro (
) temos . - A descontinuidade é coerente com a presença de uma densidade superficial
dada por . A queda brusca do componente normal do campo é , e de fato
o que coincide com a diferença entre os limites externo e interno.