Encontre o campo elétrico dentro e fora a uma distância z do centro de uma superfície esférica de raio R, que tem uma distribuição superficial de carga elétrica uniforme. Expresse sua resposta em termos da carga total q na esfera.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o campo elétrico no ponto P que fica a uma distância z do centro de uma esfera de raio R cuja carga está distribuída uniformemente sobre a superfície (isto é, é uma casca esférica com carga total q). As perguntas implícitas são:
  • Qual é \vec{E} para \;z<R\; (ponto dentro da casca)?
  • Qual é \vec{E} para \;z>R\; (ponto fora da casca)?
Informações dadas:
  • Raio da casca: R.
  • Carga total na superfície: q.
  • Distribuição de carga: superficial e uniforme (mesma densidade em toda a superfície).
  • Quer-se a resposta expressa em termos de q e da distância z.

Passo 2

Ideia do método e formula básica (explicação didática): vou usar a forma integral da lei que relaciona campo elétrico e carga dentro de uma superfície fechada. A lei é
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \oint \vec{E}\cdot d\vec{A} é o fluxo elétrico através de uma superfície fechada,
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro dessa superfície fechada,
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante).
    Explicação do porquê funciona aqui: por simetria esférica (a casca tem carga distribuída uniformemente), se eu escolher uma superfície gaussiana esférica concêntrica com a casca, o campo elétrico terá direção radial e o mesmo valor em todos os pontos dessa superfície. Isso simplifica a integral do lado esquerdo para E(r) vezes a área da esfera gaussiana.

Passo 3

Caso fora da casca ( z>R) — escolha da superfície e cálculo:
  • Escolho uma esfera gaussiana de raio r=z (mesmo centro da casca).
  • A carga total contida dentro dessa superfície é Q_{\text{int}}=q porque a casca inteira está dentro.
    Pelo argumento de simetria, \vec{E} é radial e de módulo E(r) constante sobre a esfera gaussiana, então
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2.
Aplicando a lei:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{\varepsilon_0}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}.
Substituindo r=z e escrevendo em forma vetorial (direção radial, saída se q>0):
\vec{E}(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{z^2}\,\hat{r}\qquad(\text{para }z>R).
Comentário didático: este resultado mostra que, fora da casca, o campo é idêntico ao de uma carga pontual q colocada no centro.

Passo 4

Caso dentro da casca ( z<R) — escolha da superfície e argumento:
  • Escolho uma esfera gaussiana de raio r=z<R, concêntrica com a casca.
  • Como toda a carga está sobre a superfície de raio R, não há carga dentro da esfera de raio r. Assim Q_{\text{int}}=0.
    Aplicando a lei:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{0}{\varepsilon_0}=0.
Portanto
E(r)=0\quad\Rightarrow\quad \vec{E}(z)=\vec{0}\qquad(\text{para }z<R).
Explicação física simples: as contribuições de todas as partes da casca se cancelam no interior, resultando em campo zero.

Passo 5

Observação sobre a superfície ( z=R) — descontinuidade do campo:
  • No limite de fora ( z\to R^+) temos \displaystyle E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R^2}.
  • No limite de dentro ( z\to R^-) temos E=0.
  • A descontinuidade é coerente com a presença de uma densidade superficial \sigma dada por \displaystyle \sigma=\frac{q}{4\pi R^2}. A queda brusca do componente normal do campo é \Delta E_n=\sigma/\varepsilon_0, e de fato
\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R^2},
o que coincide com a diferença entre os limites externo e interno.

Resposta

\vec{E}(z)=\vec{0}\quad\text{para }z<R.\n \displaystyle \vec{E}(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{z^{2}}\,\hat{r}\quad\text{para }z>R.

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