Determinar o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da regiăo R delimitada pelos gráficos das equações dadas:
y=\frac{x^{2}}{8}, y=0, y=8, x=0
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R limitada pelas curvas:
y=\frac{x^{2}}{8},\quad y=0,\quad y=8,\quad x=0.
Informações relevantes dadas:
A região R está limitada abaixo por y=0 e acima por y=8.
A fronteira direita é a parábola y=\dfrac{x^{2}}{8}.
A fronteira esquerda é a reta vertical x=0.
A rotação é feita em torno do eixo dos x.
A pergunta é: qual é o volume do sólido de revolução obtido?
Passo 2
Escolha do método (explicação didática, sem pular etapas).
Quando giramos uma região em torno do eixo dos x, podemos usar dois métodos usuais:
discos/aros (washers): cortar a região por planos perpendiculares ao eixo de rotação (aqui cortes verticais, variando x) e obter secções transversais circulares (com possível furo interno);
cascas cilíndricas (shells): cortar por faixas paralelas ao eixo de rotação (aqui faixas horizontais, variando y) e integrar a área lateral de cascas cilíndricas.
Vou escolher o método dos discos/aros porque a região, para um dado x com 0\le x\le 8, tem uma “faixa” vertical que vai de y=\dfrac{x^{2}}{8} até y=8. Ao girar essa faixa em torno do eixo dos x obtemos um aro com raio externo igual a 8 e raio interno igual a \dfrac{x^{2}}{8}. Isso leva a uma integral simples em potências inteiras de x, que é fácil de calcular na prova sem calculadora.
Passo 3
Determinar os limites de integração.
Precisamos do intervalo de x que cobre a região R. Encontramos a interseção entre a parábola e a reta y=8 resolvendo
\frac{x^{2}}{8}=8.
Multiplicando por 8 obtemos x^{2}=64, então x=\pm 8. Como a região usa x=0 como fronteira esquerda e está no lado direito do eixo y, consideramos x variando de 0 até 8. Portanto os limites de integração são x\in[0,8].
Passo 4
Formula do método dos discos/aros (aula rápida).
Ao girar uma faixa vertical, de espessura dx, a uma distância x do eixo y, em torno do eixo x obtemos uma secção transversal (ao longo do eixo x) que é um disco com possível buraco (aro). A área dessa secção é
R_{\text{ext}}(x) é a distância do eixo dos x até a curva superior da faixa (aqui y=8), ou seja R_{\text{ext}}(x)=8;
R_{\text{int}}(x) é a distância do eixo dos x até a curva inferior da faixa (aqui y=\dfrac{x^{2}}{8}), ou seja R_{\text{int}}(x)=\dfrac{x^{2}}{8}.
O volume total é a integral dessa área ao longo de x:
Expliquei antes cada termo: 64=8^{2} vem do raio externo ao quadrado; \dfrac{x^{4}}{64}=\big(\dfrac{x^{2}}{8}\big)^{2} vem do raio interno ao quadrado.
Passo 6
Calcular a integral passo a passo (desenvolvimento das contas).
Integramos termo a termo: