Pergunta: qual é o ponto da reta definida por esse sistema que minimiza a distância até a origem?]
Passo 2
Vamos obter uma forma paramétrica da reta (isso facilita pensar em um ponto inicial mais um parâmetro que corre na direção da reta). Subtraindo a primeira equação da segunda, temos
Aqui \mathbf{r}_0=\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]-2\end{pmatrix}\] é um ponto da reta (quando \(t=0) e \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-3\end{pmatrix} é o vetor diretor da reta.]
Passo 3
Queremos minimizar a distância da origem ao ponto \mathbf{r}(t). Em vez de minimizar a distância \|\mathbf{r}(t)\| (que envolve raiz quadrada), é mais simples minimizar o quadrado da distância:
Isto é válido porque a função raiz é monótona crescente para valores não negativos; o t que minimiza \|\mathbf{r}(t)\| também minimiza \|\mathbf{r}(t)\|^{2}.
Passo 4
Usamos a expressão vetorial \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}. Então
Intuição geométrica: no ponto mais próximo a partir da origem, o vetor que liga a origem ao ponto da reta é perpendicular ao vetor diretor da reta, e a condição \mathbf{r}(t^{*})\cdot\mathbf{v}=0 é equivalente à fórmula acima.
Passo 5
Calculamos os produtos escalares necessários. Com \mathbf{r}_0=\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]-2\end{pmatrix} e \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-3\end{pmatrix},
Como verificação rápida, o ponto obtido \mathbf{r}(t^{*}) deve satisfazer \mathbf{r}(t^{*})\cdot\mathbf{v}=0. Calculando com as componentes encontradas: