Determine o ponto da reta
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+z=1 \\\\ 2 x+y+z=4 \end{array}\right.
que se encontra mais próximo da origem.

Passo 1

O enunciado dá a reta como interseção de duas retas (planos) e pede o ponto dessa reta que está mais próximo da origem. As informações fornecidas são:
\begin{cases} x+2y+z=1,\\[4pt] 2x+y+z=4. \end{cases}
Pergunta: qual é o ponto da reta definida por esse sistema que minimiza a distância até a origem?]

Passo 2

Vamos obter uma forma paramétrica da reta (isso facilita pensar em um ponto inicial mais um parâmetro que corre na direção da reta). Subtraindo a primeira equação da segunda, temos
(2x+y+z)-(x+2y+z)=4-1 \Rightarrow x-y=3,
portanto
x=y+3.
Substituindo na primeira equação:
(y+3)+2y+z=1 \Rightarrow 3y+3+z=1 \Rightarrow z=-2-3y.
Escolhemos y\) como parâmetro, escrevendo \(y=t\). Assim obtemos a parametrização \[\begin{cases} x= t+3,\\[4pt] y= t,\\[4pt] z= -2-3t. \end{cases}
Em forma vetorial:
\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-3\end{pmatrix}.
Aqui \mathbf{r}_0=\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]-2\end{pmatrix}\] é um ponto da reta (quando \(t=0) e \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-3\end{pmatrix} é o vetor diretor da reta.]

Passo 3

Queremos minimizar a distância da origem ao ponto \mathbf{r}(t). Em vez de minimizar a distância \|\mathbf{r}(t)\| (que envolve raiz quadrada), é mais simples minimizar o quadrado da distância:
D(t)=\|\mathbf{r}(t)\|^{2}=\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t).
Isto é válido porque a função raiz é monótona crescente para valores não negativos; o t que minimiza \|\mathbf{r}(t)\| também minimiza \|\mathbf{r}(t)\|^{2}.

Passo 4

Usamos a expressão vetorial \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}. Então
D(t)=(\mathbf{r}_0+t\mathbf{v})\cdot(\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}) =\mathbf{r}_0\cdot\mathbf{r}_0+2t(\mathbf{r}_0\cdot\mathbf{v})+t^{2}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}).
Para minimizar D(t) em função de t tomamos derivada e anulamos:
\frac{dD}{dt}=2(\mathbf{r}_0\cdot\mathbf{v})+2t(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})=0.
Assim o parâmetro que minimiza é
t^{*}=-\frac{\mathbf{r}_0\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}.
Intuição geométrica: no ponto mais próximo a partir da origem, o vetor que liga a origem ao ponto da reta é perpendicular ao vetor diretor da reta, e a condição \mathbf{r}(t^{*})\cdot\mathbf{v}=0 é equivalente à fórmula acima.

Passo 5

Calculamos os produtos escalares necessários. Com \mathbf{r}_0=\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]-2\end{pmatrix} e \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-3\end{pmatrix},
\mathbf{r}_0\cdot\mathbf{v}=3\cdot 1 + 0\cdot 1 + (-2)\cdot(-3)=3+0+6=9,
\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=1^{2}+1^{2}+(-3)^{2}=1+1+9=11.
Portanto
t^{*}=-\frac{9}{11}.]

Passo 6

Agora substituímos t^{*} na parametrização componente a componente. Lembrando que
x=t+3,\qquad y=t,\qquad z=-2-3t,
temos (substituindo t=t^{*}=-9/11):
x=3+\left(-\frac{9}{11}\right)=\frac{33-9}{11}=\frac{24}{11},
y=-\frac{9}{11},
z=-2-3\left(-\frac{9}{11}\right)=-2+\frac{27}{11}=\frac{-22+27}{11}=\frac{5}{11}.

Passo 7

Como verificação rápida, o ponto obtido \mathbf{r}(t^{*}) deve satisfazer \mathbf{r}(t^{*})\cdot\mathbf{v}=0. Calculando com as componentes encontradas:
\begin{pmatrix}\tfrac{24}{11}\\[2pt]-\tfrac{9}{11}\\[2pt]\tfrac{5}{11}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-3\end{pmatrix} =\frac{24}{11}-\frac{9}{11}-\frac{15}{11}=\frac{24-9-15}{11}=0,
o que confirma que o ponto é de fato o mais próximo da origem.]

Resposta

\left(\dfrac{24}{11},-\dfrac{9}{11},\dfrac{5}{11}\right)

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