Calcular a derivada direcional de f em X0 na direção de u, quando:
f(x, y, z)=2 x^3 y-3 y^2 z ; X0=(1,2,-1) e u=(2 / 7,-3 / 7 ; 6 / 7)

Passo 1

A gente tem a função f(x,y,z)=2x^3y-3y^2z, um ponto X0=(1,2,-1) e a direção unitária u=(2/7,-3/7,6/7). O conteúdo é derivada direcional de uma função de várias variáveis, e vamos precisar do gradiente e do produto escalar.

Passo 2

A derivada direcional de f em X0 na direção u é dada por nabla f(X0)cdot u, desde que u seja unitário, o que já está garantido pois |u|=1.
Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=6x^2y, partial fpartial y=2x^3-6yz, partial fpartial z=-3y^2

Passo 3

Avaliando essas derivadas em X0=(1,2,-1), obtemos nabla f(1,2,-1)=(6cdot1^2cdot2,;2cdot1^3-6cdot2cdot(-1),;-3cdot2^2)=(12,14,-12).
Agora fazemos o produto escalar de nabla f(1,2,-1)=(12,14,-12) com u=(2/7,-3/7,6/7):
12cdot27+14cdotl(-37r)+(-12)cdot67=12cdot2+14cdot(-3)+(-12)cdot67

Resposta

-90/7

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