Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
f(x)= 1, & -2

Passo 1

O enunciado da questão diz que temos a função periódica de período 4 definida em um período por
f(x)=1,&-2
Vamos precisar testar paridade e usar as fórmulas de séries de Fourier num intervalo simétrico de comprimento 4.

Passo 2

Testamos a paridade: para todo x em (0,2) vemos que
f(-x)=1,&-(-x)in(-2,-1)0,&-1<= -x<11,&1< -x<2=f(x)
Logo f(-x)=f(x) e a função é par. Isso implica que todos os coeficientes bn do seno são nulos e só teremos termos em cosseno.

Passo 3

Como o período é T=4, definimos L=T/2=2. O coeficiente constante a0 é dado por
a0=1Lintegral0^L f(x),dx =12l(integral0^1 0,dx+integral1^2 1,dxr) =12times1 =12

Passo 4

Para n>=1, os coeficientes de cosseno são
an=1Lintegral0^L f(x)cosl(npi xLr),dx =12integral1^2cosl(tfracnpi x2r),dx
Calculando a integral:
integral1^2cosl(tfracnpi x2r)dx =2npil[sinl(tfracnpi x2r)r]1^2 = -2npisinl(tfracnpi2r)
Logo
an=-1npisinl(tfracnpi2r)

Passo 5

Observando que sin(tfracnpi2)=0 para n par e alterna entre +1 e -1 para n=4k+1 e n=4k+3, concluímos
a2m=0, a2m+1=(-1)^m+11(2m+1)pi, m=0,1,2,dots .

Resposta

A função é par. Sua série de Fourier no intervalo [-2,2] (periódica de período 4) fica:
f(x)=a02+sumn=1^inftyancosl(tfracnpi x2r) =14+summ=0^infty(-1)^m+11(2m+1)pi,cosl(tfrac(2m+1)pi x2r)

Exercícios relacionados