Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
Passo 1
O enunciado da questão diz que temos a função periódica de período 4 definida em um período por
Vamos precisar testar paridade e usar as fórmulas de séries de Fourier num intervalo simétrico de comprimento 4.
Passo 2
Testamos a paridade: para todo
x em
(0,2) vemos que
Logo
f(-x)=f(x) e a função é par. Isso implica que todos os coeficientes
bn do seno são nulos e só teremos termos em cosseno.
Passo 3
Como o período é
T=4 , definimos
L=T/2=2 . O coeficiente constante
a0 é dado por
Passo 4
Para
n>=1 , os coeficientes de cosseno são
Calculando a integral:
Logo
Passo 5
Observando que
sin(tfracnpi2)=0 para
n par e alterna entre
+1 e
-1 para
n=4k+1 e
n=4k+3 , concluímos
Resposta
A função é par. Sua série de Fourier no intervalo
[-2,2] (periódica de período 4) fica: