Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos. série de senos, período 4 .
Passo 1
O enunciado pede pra obter a série de Fourier usando apenas senos (série de senos de meia-onda) para a função no intervalo , estendê-la de forma ímpar para e periodizar com período . Vamos usar o conteúdo de séries de senos de meia-onda (half-range sine series) com .
Passo 2
Para uma série de senos em com período , os coeficientes são dados por
Aqui , então fica
Passo 3
Dividimos a integral em duas partes, pois é peça-por-peça:
Passo 4
Calculemos a primeira integral usando integração por partes com :
Avaliado de 0 a 1 dá
Passo 5
A segunda integral é direta:
Passo 6
Somando , os termos em se cancelam, sobrando
onde . Substituindo,
Passo 7
Portanto a série de Fourier de senos fica
Passo 8
A série converge para a extensão ímpar 4-periódica de :
Para vale , para vale , em vale zero, e para temos , repetindo com período 4.
Passo 9
O gráfico em três períodos (por exemplo para ) mostra o triângulo de 0 a 1, o degrau de 1 a 2, simétrico ímpar em , e depois se repete a cada 4 unidades.
Resposta
A série de senos é
Ela converge para a função 4-periódica e ímpar dada por
e repetida a cada 4 unidades. O esboço em três períodos exibe o triângulo de 0 a 1, o degrau de 1 a 2, a parte ímpar em [-2,0] e mais duas cópias em [2,6] e [-6,-2].