Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
f(x)=llx, & se 0 <= x<1, 1, & se 1 <= x<2 ; série de senos, período 4 .

Passo 1

O enunciado pede pra obter a série de Fourier usando apenas senos (série de senos de meia-onda) para a função f(x)=x,&0<= x<1,1,&1<= x<2 no intervalo [0,2], estendê-la de forma ímpar para [-2,0] e periodizar com período 4. Vamos usar o conteúdo de séries de senos de meia-onda (half-range sine series) com L=2.

Passo 2

Para uma série de senos em [0,L] com período 2L, os coeficientes são dados por
bn=2Lintegral0^Lf(x)sinl(tfracnpi xLr),dx
Aqui L=2, então fica
bn=integral0^2f(x)sinl(tfracnpi x2r),dx

Passo 3

Dividimos a integral em duas partes, pois f é peça-por-peça:
bn=integral0^1xsinl(tfracnpi x2r)dx+integral1^21cdotsinl(tfracnpi x2r)dx

Passo 4

Calculemos a primeira integral usando integração por partes com a=tfracnpi2:
integral xsin(ax)dx=-xcos(ax)a+sin(ax)a^2
Avaliado de 0 a 1 dá
I1=-cos aa+sin aa^2

Passo 5

A segunda integral é direta:
I2=integral1^2sin(ax)dx=l[-cos(ax)ar]1^2=-cos(2a)a+cos(a)a

Passo 6

Somando I1+I2, os termos em cos(a)/a se cancelam, sobrando
bn=sin aa^2-cos(2a)a,
onde a=tfracnpi2. Substituindo,
bn=4,sin(tfracnpi2)n^2pi^2-2(-1)^nnpi

Passo 7

Portanto a série de Fourier de senos fica
f(x)simsumn=1^inftyl(4,sin(tfracnpi2)n^2pi^2-2(-1)^nnpir)sinl(tfracnpi x2r)

Passo 8

A série converge para a extensão ímpar 4-periódica de f:
Para xin(0,1) vale f(x)=x, para xin(1,2) vale f(x)=1, em x=0,2 vale zero, e para xin(-2,0) temos f(x)=-f(-x), repetindo com período 4.

Passo 9

O gráfico em três períodos (por exemplo para xin[-4,8]) mostra o triângulo de 0 a 1, o degrau de 1 a 2, simétrico ímpar em [-2,0], e depois se repete a cada 4 unidades.

Resposta

A série de senos é
f(x)=sumn=1^inftyl(4,sin(tfracnpi2)n^2pi^2-2(-1)^nnpir)sinl(tfracnpi x2r)
Ela converge para a função 4-periódica e ímpar dada por
f(x)=x,&xin(0,1),1,&xin(1,2),0,&x=0,pm2,-f(-x),&xin(-2,0),
e repetida a cada 4 unidades. O esboço em três períodos exibe o triângulo de 0 a 1, o degrau de 1 a 2, a parte ímpar em [-2,0] e mais duas cópias em [2,6] e [-6,-2].

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