Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
f(x)=x^2, -1;

Passo 1

A função dada é f(x)=x^2 definida em (-1,1). O que a questão pede é: primeiro determinar se f é par ou ímpar e depois obter sua série de Fourier periódica de período 2 (L=1). Para isso vamos precisar usar as fórmulas clássicas de coeficientes de Fourier em (-L,L) e também propriedades de funções pares.

Passo 2

Para decidir a paridade, basta notar que f(-x)=(-x)2=x2=f(x). Logo f é uma função par. Em séries de Fourier isso implica que todos os coeficientes b_n (dos termos em seno) serão zero, restando apenas o termo constante e os termos em cosseno.

Passo 3

O coeficiente a_0 é dado por
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx=integral-1^1x^2,dx=[x^33]-1^1=23
O termo constante na série é a_0/2=1/3.

Passo 4

Os coeficientes a_n para n≥1 satisfazem
an=1Lintegral-L^Lf(x)cosl(npi x/Lr),dx=integral-1^1x^2cos(npi x),dx
Como f é par e cos é par, isso vale 2∫₀¹x²cos(nπx)dx. Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando integrais tabuladas), chega-se a
an=4(-1)^nn^2pi^2

Passo 5

Reunindo tudo, a expansão em série de Fourier é apenas em termos de cossenos mais o termo constante. Não há senos porque f é par.

Resposta

A função f(x)=x^2 é par e sua série de Fourier de período 2 (L=1) é
f(x)=13+sumn=1^infty4(-1)^npi^2n^2cosl(npi xr)

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