Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
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Passo 1
A função dada é f(x)=x^2 definida em (-1,1). O que a questão pede é: primeiro determinar se f é par ou ímpar e depois obter sua série de Fourier periódica de período 2 (L=1). Para isso vamos precisar usar as fórmulas clássicas de coeficientes de Fourier em (-L,L) e também propriedades de funções pares.
Passo 2
Para decidir a paridade, basta notar que f(-x)=(-x)2=x2=f(x). Logo f é uma função par. Em séries de Fourier isso implica que todos os coeficientes b_n (dos termos em seno) serão zero, restando apenas o termo constante e os termos em cosseno.
Passo 3
O coeficiente a_0 é dado por
O termo constante na série é a_0/2=1/3.
Passo 4
Os coeficientes a_n para n≥1 satisfazem
Como f é par e cos é par, isso vale 2∫₀¹x²cos(nπx)dx. Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando integrais tabuladas), chega-se a
Passo 5
Reunindo tudo, a expansão em série de Fourier é apenas em termos de cossenos mais o termo constante. Não há senos porque f é par.
Resposta
A função f(x)=x^2 é par e sua série de Fourier de período 2 (L=1) é