Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
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Passo 1
Resumo do enunciado: temos f(x)=x|x| definida em −1<x<1. O objetivo é determinar se f é par ou ímpar e, em seguida, calcular sua série de Fourier. Vamos usar conceitos de paridade de funções e a fórmula de série de Fourier em (−L,L) com L=1.
Passo 2
Verificação da paridade: para testar se f é par ou ímpar, calculamos f(−x):
f(−x)=(−x)|−x|=(−x)|x|=−x|x|=−f(x).
Logo f é uma função ímpar.
Passo 3
Fórmula dos coeficientes para função ímpar: em (−L,L) com L=1, a série de Fourier de f diz
f(x)=
onde
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),dx. Como L=1 e f(x)=x|x|=x^2 para x>0, temos
b_n=2\int_{0}{1}x2\sin(n\pi x),dx.
Passo 4
Cálculo de b_n por integração por partes em I=∫_0^1 x^2 sin(nπx) dx: usando a fórmula tabulada ou duas integrações por partes, obtém-se
I=-\frac{(-1)n}{n\pi}+\frac{2\bigl((-1)n-1\bigr)}{n3\pi3}.
Multiplicando por 2 resulta
b_n=-\frac{2(-1)n}{n\pi}+\frac{4\bigl((-1)n-1\bigr)}{n3\pi3}.
Passo 5
Montagem da série: como só aparecem termos em seno, a série final é
f(x)=\sum_{n=1}{\infty}\Bigl(-\frac{2(-1)n}{n\pi}+\frac{4\bigl((-1)n-1\bigr)}{n3\pi^3}\Bigr)\sin(n\pi x).
Resposta
A função é ímpar e sua série de Fourier em (−1,1) é