Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
f(x)= x-1, & -pi

Passo 1

Resumo do enunciado: a função f(x) é definida por f(x)= x-1,&-pi e queremos identificar se ela é par ou ímpar e obter sua série de Fourier em [−π,π], aplicando definições de paridade e fórmulas de coeficientes de Fourier.

Passo 2

Para testar a paridade, calculamos f(-x) para x\in(0,\pi): como -x\in(-\pi,0), f(-x)=(-x)-1=-x-1. Mas f(x)=x+1. Logo f(-x)=-f(x) naquele intervalo. Pelo mesmo raciocínio em todo o domínio, f é ímpar.

Passo 3

Função ímpar implica a_0=0 e a_n=0 para todos n. Assim a série de Fourier reduz-se a f(x)=sumn=1^infty bnsin(nx), onde bn=2piintegral0^pi f(x)sin(nx),dx.

Passo 4

Escrevemos bn=2piintegral0^pi(x+1)sin(nx),dx e separamos em I1=integral0^pi xsin(nx),dx e I2=integral0^pisin(nx),dx.

Passo 5

Para I_1 usamos integração por partes com u=x, dv=\sin(nx)dx:\
I1=-xcos(nx)n|0^pi+1nintegral0^picos(nx),dx =-pi(-1)^nn+1n^2[sin(nx)]0^pi =-pi(-1)^nn
E\
I2=integral0^pisin(nx),dx =-cos(nx)n|0^pi =1-(-1)^nn

Passo 6

Substituindo em b_n obtemos\
bn=2pil(I1+I2r) =2pil(-pi(-1)^nn+1-(-1)^nnr) =2pi nl[1-(pi+1)(-1)^nr]
Portanto a série de Fourier final é\
f(x)=sumn=1^infty2pi nl[1-(pi+1)(-1)^nr]sin(nx)

Resposta

A função f(x) é ímpar e sua série de Fourier em [−π,π] é
f(x)=sumn=1^infty2pi nl[1-(pi+1)(-1)^nr]sin(nx)

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