Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
Passo 1
Resumo do enunciado: a função f(x) é definida por f(x)=
e queremos identificar se ela é par ou ímpar e obter sua série de Fourier em [−π,π], aplicando definições de paridade e fórmulas de coeficientes de Fourier.
Passo 2
Para testar a paridade, calculamos f(-x) para x\in(0,\pi): como -x\in(-\pi,0), f(-x)=(-x)-1=-x-1. Mas f(x)=x+1. Logo f(-x)=-f(x) naquele intervalo. Pelo mesmo raciocínio em todo o domínio, f é ímpar.
Passo 3
Função ímpar implica a_0=0 e a_n=0 para todos n. Assim a série de Fourier reduz-se a
, onde
.
Passo 4
Escrevemos
e separamos em
e
.
Passo 5
Para I_1 usamos integração por partes com u=x, dv=\sin(nx)dx:\
E\
Passo 6
Substituindo em b_n obtemos\
Portanto a série de Fourier final é\
Resposta
A função f(x) é ímpar e sua série de Fourier em [−π,π] é