Encontre lim x infty f(x) e lim x -infty f(x) para as funções abaixo. Use esta informação, as interseções com os eixos coordenados e os limites laterais para esboçar um gráfico de y=f(x).
b) f(x)=(x+4)^5(x-3)^4

Passo 1

Vamos analisar a função f(x)=(x+4)^5(x-3)^4, que trata de limites no infinito e esboço de gráfico. Vamos precisar determinar o comportamento para xtopminfty, achar os zeros e intercepto com o eixo y, além de usar as multiplicidades para ver se cruza ou toca o eixo em cada raiz.

Passo 2

Para calcular limxtoinftyf(x) e limxto -inftyf(x), escrevemos
f(x)=(x+4)^5, (x-3)^4 = x^9, l(1+4xr)^5l(1-3xr)^4 Como limxtoinfty(1+4/x)^5=1 e limxtoinfty(1-3/x)^4=1, segue
$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}x^9=+\infty.
$$ E para limxtoinftyf(x)=limxtoinftyx^9=+infty temos xto-infty (expoente ímpar) e os fatores dentro dos parênteses tendem a 1, logo
x^9to -infty

Passo 3

A seguir, achamos os pontos em que f(x)=0: são x=-4 e x=3. A multiplicidade em x=-4 é 5 (ímpar), então o gráfico cruza o eixo x nesse ponto. Em x=3 a multiplicidade é 4 (par), logo o gráfico toca o eixo e volta sem cruzar. O intercepto com o eixo y ocorre em x=0:
f(0)=4^5cdot(-3)^4=1024cdot81=82944

Passo 4

Com isso podemos esboçar qualitativamente: conforme xto-infty, f(x)to-infty, o gráfico sobe e cruza o eixo em (-4,0), continua positivo até atingir (0,82944), depois desce até tocar em (3,0) e volta a subir para +infty quando xto+infty.

Resposta

limxtoinftyf(x)=+infty e limxto -inftyf(x)=-infty. Pontos notáveis: zeros em (-4,0) (multiplicidade 5, cruza) e (3,0) (mult. 4, toca), e intercepto com y em (0,82944). O esboço segue de -infty (negativo), cruza em -4, atinge y=82944 em x=0, toca em 3 e vai a +infty.

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