Mostre que:
(b) lim (x, y) (0,0) 3 x^3-2 y^3x^2+y^2=0

Passo 1

O problema pede para mostrar que lim(x,y)to(0,0)3x^3-2y^3x^2+y^2=0. O conteúdo envolve limites em R^2 e o uso de estimativas (teorema do confronto).

Passo 2

Começamos aplicando valor absoluto na função para usar o teorema do confronto. Temos
|3x^3-2y^3x^2+y^2| <= |3x^3| + |2y^3|x^2+y^2 = 3|x|^3x^2+y^2 + 2|y|^3x^2+y^2

Passo 3

Agora introduzimos r=raizx^2+y^2. Note que |x|<= r e |y|<= r, logo
|x|^3<= r^3,
|y|^3<= r^3
Substituindo nas parcelas, obtemos
3|x|^3x^2+y^2 <= 3r^3r^2 = 3r,
2|y|^3x^2+y^2 <= 2r^3r^2 = 2r
Então
|3x^3-2y^3x^2+y^2| <= 3r + 2r = 5r

Passo 4

Como r=raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), segue que 5rto0. Pelo teorema do confronto, a função fica aprisionada entre -5r e 5r, ambos tendendo a zero, logo o limite da função também é zero.

Resposta

0

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