Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se uma função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções pares e ímpares da matemática, que nos ajudam a entender como a função se comporta em relação ao eixo y e à origem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser par ou ímpar:
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Função Par: Uma função $ f(x) $ é chamada de par se, para todo valor de $ x $, a seguinte igualdade for verdadeira:
f(x) Isso significa que a função é simétrica em relação ao eixo y. -
Função Ímpar: Uma função $ f(x) $ é chamada de ímpar se, para todo valor de $ x $, a seguinte igualdade for verdadeira:
x Isso significa que a função é simétrica em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
Queremos verificar se essa função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular $ f(-x) $ para verificar se a função é par:
Para $ x $ no intervalo $ -1 < x < 0 $:
Comparando com $ f(x) $ nesse intervalo:
Então, $ f(-x) = f(x) $ para $ -1 < x < 0 $.
Passo 5
Agora, para $ x $ no intervalo $ 0 \leq x < 1 $:
Comparando com $ f(x) $ nesse intervalo:
Aqui, $ f(-x) = -f(x) $ porque $ x^{2} = -(-x^{2}) $.
Passo 6
Observamos que:
- Para $ -1 < x < 0 $, $ f(-x) = f(x) $
- Para $ 0 \leq x < 1 $, $ f(-x) = -f(x) $
Isso mostra que a função não satisfaz a condição para ser par em todo o seu domínio, nem a condição para ser ímpar em todo o seu domínio.
Passo 7
No entanto, ao analisar os dois casos, percebemos que $ f(-x) = -f(x) $ é verdadeiro para todo $ x $ no domínio da função, já que a condição se mantém em ambos os intervalos analisados.
Resposta
A função é ímpar.