Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
x^2, & -1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se uma função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções pares e ímpares da matemática, que nos ajudam a entender como a função se comporta em relação ao eixo y e à origem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser par ou ímpar:
  • Função Par: Uma função $ f(x) $ é chamada de par se, para todo valor de $ x $, a seguinte igualdade for verdadeira:
    f(x)
    Isso significa que a função é simétrica em relação ao eixo y.
  • Função Ímpar: Uma função $ f(x) $ é chamada de ímpar se, para todo valor de $ x $, a seguinte igualdade for verdadeira:
    x
    Isso significa que a função é simétrica em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada:
f(x) = x^2, & -1 < x < 0 -x^2, & 0 <= x < 1
Queremos verificar se essa função é par, ímpar ou nenhuma das duas.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular $ f(-x) $ para verificar se a função é par:
Para $ x $ no intervalo $ -1 < x < 0 $:
f(-x)
Comparando com $ f(x) $ nesse intervalo:
x
Então, $ f(-x) = f(x) $ para $ -1 < x < 0 $.

Passo 5

Agora, para $ x $ no intervalo $ 0 \leq x < 1 $:
x
Comparando com $ f(x) $ nesse intervalo:
0 <= x < 1
Aqui, $ f(-x) = -f(x) $ porque $ x^{2} = -(-x^{2}) $.

Passo 6

Observamos que:
  • Para $ -1 < x < 0 $, $ f(-x) = f(x) $
  • Para $ 0 \leq x < 1 $, $ f(-x) = -f(x) $
Isso mostra que a função não satisfaz a condição para ser par em todo o seu domínio, nem a condição para ser ímpar em todo o seu domínio.

Passo 7

No entanto, ao analisar os dois casos, percebemos que $ f(-x) = -f(x) $ é verdadeiro para todo $ x $ no domínio da função, já que a condição se mantém em ambos os intervalos analisados.

Resposta

A função é ímpar.

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