Qual é a série de Taylor da função f(x)=1x em torno de a=2 ?
Assinale a alternativa correta:
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n (x-2)^n2^n

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (expansão em série de potências) de f(x)= 1/x em torno de a=2. Vamos usar o fato de que uma função da forma 1/(a+h) pode ser escrita como série geométrica em h, e depois trocar h por x–2.

Passo 2

Definimos h = x–2, de modo que x = 2 + h. Então
f(x) = 1x = 12 + h = 12cdot11 + h2

Passo 3

Como sabemos que para |u| < 1 vale
11+u = sumn=0^infty(-1)^n u^n,
podemos identificar u = h/2. Logo
f(x) = 12sumn=0^infty(-1)^nl(h2r)^n

Passo 4

Substituindo de volta h = x–2, obtemos
f(x) = sumn=0^infty(-1)^n(x-2)^n2^n+1

Resposta

A expansão correta é f(x)=sumn=0^infty(-1)^n(x-2)^n2^n+1.

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