Nos exercícios 53 a 58, esboce o gráfico da função e analise seu domínio, sua imagem, a continuidade, o comportamento de crescimento/decrescimento, se é limitada, se tem extremos, asimetria, as assíntotas e o comportamento nos extremós do domínio.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=ln(x+1) e analisar: domínio, imagem, continuidade, crescimento/decrescimento, se é limitada, existência de extremos, simetria, assíntotas e comportamento nos extremos do domínio.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que o logaritmo natural exige argumento positivo. Precisamos de x+1>0, logo o domínio é
.
Para a imagem, observamos que conforme x→-1⁺, x+1→0⁺ e ln(x+1)→-∞; e conforme x→∞, ln(x+1)→∞. Assim a imagem é todo .
Para a imagem, observamos que conforme x→-1⁺, x+1→0⁺ e ln(x+1)→-∞; e conforme x→∞, ln(x+1)→∞. Assim a imagem é todo
Passo 3
A função ln é contínua em todo o interior de seu domínio. Logo f é contínua em
.
Passo 4
Para monotonicidade, calculamos f’(x)=1/(x+1). Como em
temos x+1>0, então f’(x)>0. Logo f é estritamente crescente.
Passo 5
Sobre limites e extremos: f cresce sem parar, não tem máximo nem mínimo absolutos; é não limitada acima nem abaixo em seus extremos.
Quanto à simetria, f não satisfaz f(-x)=f(x) (par) nem f(-x)=-f(x) (ímpar). Então não é nem par nem ímpar.
Quanto à simetria, f não satisfaz f(-x)=f(x) (par) nem f(-x)=-f(x) (ímpar). Então não é nem par nem ímpar.
Passo 6
Para assíntotas: como limₓ→-1⁺ f(x)=-∞, existe assíntota vertical em x=-1. Não há assíntota horizontal, pois ln(x+1)→∞ quando x→∞ e→-∞ quando x→-1⁺.
Comportamento nos extremos do domínio:
• Quando x→-1⁺, f(x)=ln(x+1)→-∞.
• Quando x→∞, f(x)=ln(x+1)→∞, crescendo de forma cada vez mais lenta.
Comportamento nos extremos do domínio:
• Quando x→-1⁺, f(x)=ln(x+1)→-∞.
• Quando x→∞, f(x)=ln(x+1)→∞, crescendo de forma cada vez mais lenta.
Passo 7
Esboço do gráfico: curva que cruza o eixo em (0,0), tende a -∞ próximo de x=-1 pela direita, e cresce indefinidamente para x→∞, com formato de logaritmo natural deslocado 1 unidade à esquerda.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Continuidade: contínua em todo o domínio
Monotonicidade: estritamente crescente em
Limitada: não limitada nem superior nem inferiormente
Extremos: não possui máximo nem mínimo
Simetria: não é par nem ímpar
Assíntotas: vertical em x=â1; sem assíntotas horizontais
Comportamento nos extremos: f(x)→-∞ quando x→-1⁺; f(x)→∞ quando x→∞
Esboço: curva logarítmica deslocada 1 à esquerda, passando em (0,0), descendo vertiginosamente a -∞ em x→-1⁺ e subindo indefinidamente para x→∞.
Imagem:
Continuidade: contínua em todo o domínio
Monotonicidade: estritamente crescente em
Limitada: não limitada nem superior nem inferiormente
Extremos: não possui máximo nem mínimo
Simetria: não é par nem ímpar
Assíntotas: vertical em x=â1; sem assíntotas horizontais
Comportamento nos extremos: f(x)→-∞ quando x→-1⁺; f(x)→∞ quando x→∞
Esboço: curva logarítmica deslocada 1 à esquerda, passando em (0,0), descendo vertiginosamente a -∞ em x→-1⁺ e subindo indefinidamente para x→∞.