Determine uma função potencial para cada campo conservativo

Passo 1

Temos o campo vetorial conservativo vec F(x,y)=(P,Q) com P=cos(xy)-xysin(xy) e Q=-x^2sin(xy). Queremos achar uma função potencial varphi(x,y) tal que nablavarphi=vec F. Vamos usar integração e consistência entre derivadas parciais.

Passo 2

Integramos P em relação a x. Para isso escrevemos
integrall(cos(xy)-x ysin(xy)r),dx

Passo 3

Usando a substituição u=xy, du=y,dx:
integralcos(xy),dx=sin(xy)y, integral x ysin(xy),dx=1yintegral usin(u),du=1yl(-ucos(u)+sin(u)r)
Somando os termos e simplificando vemos que tudo se reduz a
varphi(x,y)=xcos(xy)+h(y),

Passo 4

onde h(y) é uma função ainda a determinar.
Calculamos a derivada parcial em relação a y:
partialvarphipartial y=-x^2sin(xy)+h'(y)
e igualamos a Q=-x^2sin(xy). Isso dá h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

Assim a função potencial é
varphi(x,y)=xcos(xy)+C

Resposta

varphi(x,y)=xcos(xy)+C

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