Determine uma função potencial para cada campo conservativo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma função potencial f(x,y) tal que ∇f = F, onde F(x,y) = (P,Q) com P(x,y)=x²+y² e Q(x,y)=2xy. O conteúdo envolvido é campos vetoriais conservativos e funções potenciais, e vamos usar a definição de derivadas parciais e integração separada.
Passo 2
Primeiro, verificamos que o campo é conservativo conferindo ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Calculamos ∂P/∂y = 2y e ∂Q/∂x = 2y, logo são iguais e existe função potencial.
Passo 3
Para obter f, usamos a condição f_x = P. Integramos P em relação a x:
onde g(y) é uma função arbitrária de y.
Passo 4
Em seguida, usamos a condição f_y = Q. Calculamos f_y a partir da expressão obtida:
Igualando a Q(x,y)=2xy, obtemos g’(y)=0, ou seja, g(y)=C (constante).
Passo 5
Portanto, uma função potencial geral é
Resposta
f(x,y)=\frac{x3}{3}+x,y2+C