Determine uma função potencial para cada campo conservativo

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função potencial f(x,y) tal que ∇f = F, onde F(x,y) = (P,Q) com P(x,y)=x²+y² e Q(x,y)=2xy. O conteúdo envolvido é campos vetoriais conservativos e funções potenciais, e vamos usar a definição de derivadas parciais e integração separada.

Passo 2

Primeiro, verificamos que o campo é conservativo conferindo ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Calculamos ∂P/∂y = 2y e ∂Q/∂x = 2y, logo são iguais e existe função potencial.

Passo 3

Para obter f, usamos a condição f_x = P. Integramos P em relação a x:
f(x,y) = integral (x^2 + y^2) , dx = x^33 + x,y^2 + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 4

Em seguida, usamos a condição f_y = Q. Calculamos f_y a partir da expressão obtida:
fy = ∂∂yl(x^33 + x,y^2 + g(y)r) = 2xy + g'(y)
Igualando a Q(x,y)=2xy, obtemos g’(y)=0, ou seja, g(y)=C (constante).

Passo 5

Portanto, uma função potencial geral é
f(x,y)=x^33+x,y^2+C

Resposta

f(x,y)=\frac{x3}{3}+x,y2+C

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