A distribuição de frequências do salário anual dos moradores do bairro A que tem alguma forma de rendimento é apresentada na tabela abaixo:
Faixa salarial (x10 salários mínimos) Frequência
0 mid-2 10.000
2 mid-4 3.900
4 mid-6 2.000
6 mid-8 1.100
8 mid-10 800
10 mid-12 700
12 mid-14 2.000
Total 20.500
(a) Construa um histograma da distribuição.
(b) Qual a média e o desvio padrão aproximados da variável salários?
© Determine qual a faixa salarial dos 10 % mais ricos da população do bairro.
(d) O bairro B apresenta, para a mesma variável, uma média de 7,2 e um desvio padrão de 15,1. Em qual dos bairros a população é mais homogênea quanto a renda?

Passo 1

Temos uma distribuição de frequências dos salários (em unidades de 10 salários mínimos) dos moradores do bairro A, com classes de largura 2 e frequências dadas. O que vamos fazer: (a) desenhar o histograma; (b) calcular a média e o desvio padrão aproximados usando os pontos médios de classe; © encontrar a faixa salarial onde cai o percentil 90 (ou seja, os 10% mais ricos); (d) comparar a homogeneidade da renda nos bairros A e B por meio do coeficiente de variação.

Passo 2

Para construir o histograma, colocamos no eixo horizontal as classes 0–2, 2–4, 4–6, 6–8, 8–10, 10–12 e 12–14, cada uma com largura 2. No eixo vertical, marcamos as frequências 10000, 3900, 2000, 1100, 800, 700 e 2000. Em seguida, desenhamos retângulos de base igual a 2 em cada classe, com altura igual à frequência correspondente.

Passo 3

Para calcular a média e o desvio padrão aproximados, primeiro determinamos os pontos médios de cada classe:
mi=1,;3,;5,;7,;9,;11,;13

Passo 4

Depois calculamos
sum fi mi =10000cdot1+3900cdot3+2000cdot5+1100cdot7+800cdot9+700cdot11+2000cdot13=80300,
sum fi mi^2=10000cdot1^2+3900cdot3^2+2000cdot5^2+1100cdot7^2+800cdot9^2+700cdot11^2+2000cdot13^2=636500

Passo 5

Com total de observações N=20500, a média é
bar x=8030020500approx3.917

Passo 6

A variância amostral aproximada é
s^2=63650020500-bar x^2approx31.049-15.338=15.711,
de onde o desvio padrão é
s=raiz15.711approx3.965

Passo 7

Para achar a faixa dos 10% mais ricos, calculamos o 90º percentil:
0,9N=0,9times20500=18450

Passo 8

Somamos as frequências acumuladas até a classe anterior a 10–12:
10000+3900+2000+1100+800=17800

Passo 9

Como 17800<18450<17800+700=18500, o P90 cai na classe 10–12. Podemos até interpolar:
P90=10+18450-17800700times2approx10+1.857=11.857,
mas basta notar que o corte está na faixa de 10–12 salários mínimos.

Passo 10

Para comparar a homogeneidade, usamos o coeficiente de variação
CV=sbar x

Passo 11

No bairro A:
CVA=3.9653.917approx1,012;(101,2%)

Passo 12

No bairro B:
CVB=15,17,2approx2,097;(209,7%)

Passo 13

Como o CV de A é menor que o de B, a renda em A é mais homogênea.

Resposta

(a) Histograma com barras de base 2 nas classes [0–2), [2–4), …, [12–14], de alturas 10000, 3900, 2000, 1100, 800, 700 e 2000. (b) Média aproximada bar xapprox3,92 e desvio padrão sapprox3,97 (em unidades de 10 salários mínimos). © O 90º percentil cai na classe de 10–12 salários mínimos (valor aproximado 11,86). (d) Bairro A é mais homogêneo, pois seu coeficiente de variação (≈101%) é menor que o de B (≈209%).

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