Determine a função potencial dos campos abaixo:
\vec{F}(x, y, z)=1 / x \vec{\imath}+1 / y \vec{\jmath}+2 z \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função potencial para o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\frac{1}{x}\,\vec{\imath}+\frac{1}{y}\,\vec{\jmath}+2z\,\vec{k}.
O que temos de informações importantes extraídas do enunciado:
  • As componentes do campo são P(x,y,z)=\frac{1}{x},\qquad Q(x,y,z)=\frac{1}{y},\qquad R(x,y,z)=2z.
  • Deve-se encontrar uma função \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F},isto é, \frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{1}{x},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{1}{y},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=2z.
  • Atenção ao domínio: as expressões \tfrac{1}{x} e \tfrac{1}{y} não estão definidas em x=0 ou y=0. Logo o campo só existe onde x\neq0 e y\neq0. Em cada componente conexa do domínio (por exemplo x>0,y>0 ou x>0,y<0, etc.) podemos procurar a potencial.

Passo 2

Breve teoria (explicada de forma prática): uma função potencial \varphi satisfaz \nabla\varphi=\vec{F}. Um método direto para achá-la é integrar as igualdades parciais uma a uma, tratando as integrais indefinidas com “constantes” que podem depender das outras variáveis. Também é útil checar se o campo é irrotacional ( \nabla\times\vec{F}=0) no domínio onde está definido — isso garante (em cada componente conexa do domínio) que existe potencial.
Calculemos o rotacional rapidamente para confirmar:
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{\imath} +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{\jmath} +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k}.
Aqui
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial(2z)}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial(1/y)}{\partial z}=0,
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial(1/x)}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial(2z)}{\partial x}=0,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial(1/y)}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial(1/x)}{\partial y}=0.
Portanto \nabla\times\vec{F}= \vec{0} no domínio x\neq0,\;y\neq0. Isso confirma que o campo é conservativo em cada região conexa do domínio, e faz sentido procurar \varphi.

Passo 3

Começamos a integrar a primeira igualdade \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=\dfrac{1}{x} em relação a x, tratando y,z como constantes. A integral indefinida de \dfrac{1}{x} é o logaritmo absoluto:
\varphi(x,y,z)=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante de integração” que pode depender de y e z.
Explicação curta sobre \ln|x|: a primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x| porque \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x} para x\neq0. O valor absoluto aparece para cobrir x>0 e x<0.

Passo 4

Agora usamos a condição \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=\dfrac{1}{y}. A partir de \varphi=\ln|x|+g(y,z) temos
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial y}.
Igualando:
\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{1}{y}.
Integramos essa igualdade em relação a y, tratando z como constante:
g(y,z)=\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+h(z),
onde h(z) é outra “constante” que depende agora só de z.

Passo 5

Agora use a última condição \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}=2z. Substituindo as peças já obtidas:
\varphi(x,y,z)=\ln|x|+\ln|y|+h(z).
Derivando em relação a z:
\frac{\partial\varphi}{\partial z}=h'(z).
Igualando a 2z:
h'(z)=2z.
Integramos em relação a z:
h(z)=\int 2z\,dz = z^{2}+C,
onde C é uma constante real (número real sem dependência de x,y,z).

Passo 6

Reunindo tudo:
\varphi(x,y,z)=\ln|x|+\ln|y|+z^{2}+C.
Podemos simplificar os dois logaritmos:
\varphi(x,y,z)=\ln|xy|+z^{2}+C.
Verificação rápida (checagem que isso funciona): calculemos \nabla\varphi.
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{1}{x},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{1}{y},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=2z,
que coincidem com as componentes de \vec{F}. Portanto \varphi é de fato uma função potencial.
Observação final sobre domínio: a expressão \ln|x| e \ln|y| só faz sentido para x\neq0 e y\neq0, como esperado. Em cada componente conexa do domínio (onde os sinais de x e y são fixos) a constante C pode assumir um valor; isso corresponde ao fato clássico de que potencial é definido até uma constante.

Resposta

\varphi(x,y,z)=\ln|x|+\ln|y|+z^{2}+C

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