Determine a função potencial dos campos abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma função potencial para o campo vetorial
O que temos de informações importantes extraídas do enunciado:
- As componentes do campo são
- Deve-se encontrar uma função
tal que isto é, - Atenção ao domínio: as expressões
e não estão definidas em ou . Logo o campo só existe onde e . Em cada componente conexa do domínio (por exemplo ou , etc.) podemos procurar a potencial.
Passo 2
Breve teoria (explicada de forma prática): uma função potencial
satisfaz
. Um método direto para achá-la é integrar as igualdades parciais uma a uma, tratando as integrais indefinidas com “constantes” que podem depender das outras variáveis. Também é útil checar se o campo é irrotacional (
) no domínio onde está definido — isso garante (em cada componente conexa do domínio) que existe potencial.
Calculemos o rotacional rapidamente para confirmar:
Aqui
Portanto
no domínio
. Isso confirma que o campo é conservativo em cada região conexa do domínio, e faz sentido procurar
.
Passo 3
Começamos a integrar a primeira igualdade
em relação a
, tratando
como constantes. A integral indefinida de
é o logaritmo absoluto:
onde
é uma “constante de integração” que pode depender de
e
.
Explicação curta sobre
: a primitiva de
é
porque
para
. O valor absoluto aparece para cobrir
e
.
Passo 4
Agora usamos a condição
. A partir de
temos
Igualando:
Integramos essa igualdade em relação a
, tratando
como constante:
onde
é outra “constante” que depende agora só de
.
Passo 5
Agora use a última condição
. Substituindo as peças já obtidas:
Derivando em relação a
:
Igualando a
:
Integramos em relação a
:
onde
é uma constante real (número real sem dependência de
).
Passo 6
Reunindo tudo:
Podemos simplificar os dois logaritmos:
Verificação rápida (checagem que isso funciona): calculemos
.
que coincidem com as componentes de
. Portanto
é de fato uma função potencial.
Observação final sobre domínio: a expressão
e
só faz sentido para
e
, como esperado. Em cada componente conexa do domínio (onde os sinais de
e
são fixos) a constante
pode assumir um valor; isso corresponde ao fato clássico de que potencial é definido até uma constante.