Questão 17

Escreva o número complexo z=\sqrt{3}+i na forma trigonométrica.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \,z=\sqrt{3}+i\, e pede que ele seja escrito na forma trigonométrica.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Parte real de z: \Re(z)=\sqrt{3}.
  • Parte imaginária de z: \Im(z)=1.
  • Pedido: escrever z como \,r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big), encontrando r e \theta.

Passo 2

Vamos calcular o módulo r de z. Lembre que o módulo de um número complexo x+iy é dado por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde x é a parte real e y a parte imaginária. Aqui x=\sqrt{3} e y=1. Então
r=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
Interpretação: o ponto (\sqrt{3},1) no plano complexo está à distância 2 da origem.

Passo 3

Agora determinamos o argumento \theta. Para um ponto com coordenadas x>0 e y>0 (primeiro quadrante), a fórmula básica é
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
Aqui \dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Então
\theta=\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Recorde que \tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Portanto
\theta=\frac{\pi}{6}.
Observação sobre quadrantes: como \sqrt{3}>0 e 1>0, o ponto está no primeiro quadrante, então não é preciso acrescentar \pi ou outro ajuste ao ângulo obtido por \arctan.

Passo 4

A forma trigonométrica (ou polar) de um número complexo é
z=r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big),
com r e \theta encontrados acima. Substituindo r=2 e \theta=\dfrac{\pi}{6} obtemos
z=2\!\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right).

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): calcular de volta para a forma a+ib para checar.
2\!\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right) =2\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot\frac{1}{2}\right) =\sqrt{3}+i,
que coincide com z dado. Bom sinal de que está correto!

Resposta

2\!\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)

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