Determine a função potencial dos campos abaixo:
\vec{F}(x, y)=y \vec{\imath}+2 x \vec{\jmath}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}(x,y)=y\,\vec{\imath}+2x\,\vec{\jmath} e pede para determinar uma função potencial (se existir). Ou seja, procura-se uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo tem componentes P(x,y)=y (componente x) e Q(x,y)=2x (componente y).
  • O domínio natural implícito é todo o plano \mathbb{R}^2, salvo indicação em contrário.
  • O que se pede: encontrar \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=y,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=2x,
ou então justificar por que tal \varphi não existe.

Passo 2

Vou explicar a condição que usamos para decidir se existe função potencial e por quê (aula rápida e prática).
Definição: uma função \varphi(x,y) é potencial de \vec{F} se vale
\nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y)=(P,Q).
Isto implica que as derivadas parciais de segunda ordem satisfazem a igualdade das derivadas mistas:
\phi_{xy}=\phi_{yx}.
Usando \phi_x=P e \phi_y=Q, obtemos a condição necessária (e, em domínios simplesmente conexos, suficiente)
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Explicação intuitiva: se \phi_x=P e \phi_y=Q, derivando P em relação a y e Q em relação a x devemos obter a mesma quantidade, porque ambas são iguais a \phi_{xy}. Em domínios como \mathbb{R}^2 (que são simplesmente conexos), essa condição é também suficiente para garantir existência local/global de \varphi.
Portanto o passo prático é: calcular \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x e comparar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais requeridas a partir das componentes dadas:
P(x,y)=y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(y)=1.
Q(x,y)=2x \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(2x)=2.
Comparando:
\frac{\partial P}{\partial y}=1\quad\text{e}\quad\frac{\partial Q}{\partial x}=2.
Como 1\neq2, a condição \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x falha.

Passo 4

Interpretação do resultado: a desigualdade das derivadas mistas significa que não existe função \varphi definida em qualquer região aberta que contenha pontos onde essa diferença ocorre (por exemplo, em qualquer vizinhança de qualquer ponto do plano) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Em outras palavras, o campo não é conservativo e não possui função potencial em \mathbb{R}^2.
Para deixar isso ainda mais explícito, tento construir \varphi pela integração e mostro a contradição: a partir de \phi_x=y integro em x:
\varphi(x,y)=\int y\,dx = xy + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y. Agora calculo \phi_y a partir dessa expressão:
\phi_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy+h(y)\bigr)=x+h'(y).
Mas para ser potencial precisamos que \phi_y=Q=2x. Assim
x+h'(y)=2x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=x.
Isto é impossível porque o membro à esquerda depende apenas de y (é função de y), enquanto o membro à direita depende de x. Não existe função h de apenas y que satisfaça h'(y)=x para todos (x,y). Logo há contradição e não existe \varphi.

Passo 5

Conclusão final do raciocínio: como a condição \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x falha em \mathbb{R}^2, não existe função potencial \varphi em qualquer região aberta do plano que contenha pontos com diferentes valores de x. Em particular, no domínio natural \mathbb{R}^2 o campo \vec{F}(x,y)=y\,\vec{\imath}+2x\,\vec{\jmath} não é conservativo e não tem função potencial.
(Aviso prático para prova: sempre verifique primeiro a condição das derivadas mistas — é rápido e evita perder tempo tentando integrar à toa. Se a condição falha, está encerrado: não há potencial.)

Resposta

Não existe função potencial para \vec{F}(x,y)=y\,\vec{\imath}+2x\,\vec{\jmath} (o campo não é conservativo).

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