Questão 15
Determine os valores reais de
e
para que a seguinte igualdade entre números complexos seja verdadeira:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores reais de
e
tais que a igualdade entre números complexos abaixo seja verdadeira:
Informações dadas:
- Os incógnitos são
e , ambos números reais. - A igualdade é entre dois números complexos: o produto
e o número .
Passo 2
Vamos lembrar como multiplicar dois números complexos. Se temos
e
, o produto é
Como
, isso vira
Aqui, as partes real e imaginária do produto são, respectivamente,
e
. Essa é a fórmula que vamos aplicar com
,
,
,
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso produto:
Expliquei cada termo:
vem de
,
vem de
com
, e
vem dos termos cruzados
.
Passo 4
Agora igualamos a parte real e a parte imaginária desse resultado com as partes correspondentes de
. Isso porque dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias também forem iguais. Assim obtemos o sistema linear:
Passo 5
Vamos resolver o sistema por eliminação. Multiplico a primeira equação por
e a segunda por
para eliminar
ao somar:
Somando as duas equações:
Logo
Passo 6
Com
, substituo em uma das equações originais para encontrar
. Uso
:
Passo 7
Fazendo uma checagem rápida: substituo
e
no produto
que confere com o lado direito do enunciado. Portanto a solução está correta.