Questão 15

Determine os valores reais de x e y para que a seguinte igualdade entre números complexos seja verdadeira:
(x+y i)(3+4 i)=7+26 i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores reais de x e y tais que a igualdade entre números complexos abaixo seja verdadeira:
(x+y\,i)(3+4\,i)=7+26\,i.
Informações dadas:
  • Os incógnitos são x e y, ambos números reais.
  • A igualdade é entre dois números complexos: o produto (x+y\,i)(3+4\,i) e o número 7+26\,i.

Passo 2

Vamos lembrar como multiplicar dois números complexos. Se temos (a+b\,i) e (c+d\,i), o produto é
(a+b\,i)(c+d\,i)=ac+(ad+bc)\,i+bd\,i^2.
Como i^2=-1, isso vira
(ac-bd)+(ad+bc)\,i.
Aqui, as partes real e imaginária do produto são, respectivamente, ac-bd e ad+bc. Essa é a fórmula que vamos aplicar com a=x, b=y, c=3, d=4.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso produto:
(x+y\,i)(3+4\,i)=(3x-4y)+(4x+3y)\,i.
Expliquei cada termo: 3x vem de ac, -4y vem de bd\,i^2 com i^2=-1, e 4x+3y vem dos termos cruzados ad+bc.

Passo 4

Agora igualamos a parte real e a parte imaginária desse resultado com as partes correspondentes de 7+26\,i. Isso porque dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias também forem iguais. Assim obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 3x-4y=7,\\[4pt] 4x+3y=26. \end{cases}]

Passo 5

Vamos resolver o sistema por eliminação. Multiplico a primeira equação por 3 e a segunda por 4 para eliminar y ao somar:
\begin{cases} 9x-12y=21,\\[4pt] 16x+12y=104. \end{cases}
Somando as duas equações:
(9x-12y)+(16x+12y)=21+104 \quad\Rightarrow\quad 25x=125.
Logo
x=\dfrac{125}{25}=5.]

Passo 6

Com x=5, substituo em uma das equações originais para encontrar y. Uso 3x-4y=7:
3\cdot5-4y=7 \quad\Rightarrow\quad 15-4y=7 \quad\Rightarrow\quad -4y=-8 \quad\Rightarrow\quad y=2.

Passo 7

Fazendo uma checagem rápida: substituo x=5 e y=2 no produto
(5+2\,i)(3+4\,i)=(3\cdot5-4\cdot2)+(4\cdot5+3\cdot2)\,i=(15-8)+(20+6)\,i=7+26\,i,
que confere com o lado direito do enunciado. Portanto a solução está correta.

Resposta

x=5
y=2

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