Determine a função quadrática f(x)=a x^2+b x+c, sabendo-se que o gráfico de f passa pelo ponto (1,4) e que as retas tangentes em x=1 e x=5 têm inclinações 6 e -2, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede uma função quadrática
f(x)=a x^2+b x+c
que satisfaz três condições: passa por (1,4) e as retas tangentes em x=1 e em x=5 têm inclinações 6 e -2, respectivamente. Vamos usar derivada para as tangentes e avaliar f em x=1.

Passo 2

A derivada de f é
f'(x)=2a x+b
Impondo f'(1)=6 e f'(5)=-2, obtemos o sistema
2a+b=6,
10a+b=-2

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(10a+b)-(2a+b)=-2-6 Longrightarrow 8a=-8 Longrightarrow a=-1
Substituindo em 2a+b=6
2(-1)+b=6 Longrightarrow -2+b=6 Longrightarrow b=8

Passo 4

Para achar c, usamos f(1)=4:
acdot1^2+bcdot1+c=4 Longrightarrow (-1)+8+c=4 Longrightarrow c=-3

Resposta

f(x)=-x^2+8x-3

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