Obtenha as equações das retas tangente e normal à curva y=x^ln x, no ponto de abscissa 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva
y = x^ln x
no ponto cuja abscissa é x=1.
Conteúdo: derivada de função definida por potência com variável no expoente e na base, e aplicação da fórmula da reta tangente e da reta normal.

Passo 2

Vamos identificar o ponto de contato. Primeiro calculamos
y(1) = 1^ln 1 = 1^0 = 1
Logo, o ponto de tangência é (1,1).

Passo 3

Para achar a derivada y', usamos log-diferenciação. Seja
y = x^ln x
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = lnl(x^ln xr) = (ln x),(ln x) = (ln x)^2
Derivando em relação a x:
1y,y' = 2,ln xcdot1x
Multiplicando por y:
y' = y;2ln xx

Passo 4

Agora avaliamos y' em x=1. Como ln 1=0 e y(1)=1, temos
y'(1) = 1 cdot 2cdot01 = 0
Portanto, a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente é m t=0.

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto (1,1) com coeficiente angular m t=0 é
y - 1 = 0,(x - 1),
ou seja
y = 1

Passo 6

A reta normal tem coeficiente angular m n = -tfrac1m t. Como m t=0, o coeficiente normal seria -1/0, isto é, reta vertical. Logo, a equação da normal é
x = 1

Resposta

Reta tangente: y = 1
Reta normal: x = 1

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