Obtenha as equações das retas tangente e normal à curva
, no ponto de abscissa 1.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto cuja abscissa é
.
Conteúdo: derivada de função definida por potência com variável no expoente e na base, e aplicação da fórmula da reta tangente e da reta normal.
Conteúdo: derivada de função definida por potência com variável no expoente e na base, e aplicação da fórmula da reta tangente e da reta normal.
Passo 2
Vamos identificar o ponto de contato. Primeiro calculamos
Logo, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Para achar a derivada
, usamos log-diferenciação. Seja
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Derivando em relação a
:
Multiplicando por
:
Passo 4
Agora avaliamos
em
. Como
e
, temos
Portanto, a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente é
.
Passo 5
A equação da reta tangente no ponto
com coeficiente angular
é
ou seja
Passo 6
A reta normal tem coeficiente angular
. Como
, o coeficiente normal seria
, isto é, reta vertical. Logo, a equação da normal é
Resposta
Reta tangente:
Reta normal:
Reta normal: