Estude o sinal de:
2 x+1x-4,

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da função racional f(x)=2x+1x-4. Para isso, vamos identificar os zeros do numerador e do denominador e, em seguida, analisar o sinal de cada parte em cada intervalo determinado por esses pontos.

Passo 2

Encontramos onde o numerador e o denominador se anulam:
– Numerador: 2x+1=0 implica x=-tfrac12.
– Denominador: x-4=0 implica x=4, ponto em que f não está definida.

Passo 3

Os pontos x=-tfrac12 e x=4 dividem a reta em três intervalos. Em cada um, escolhemos um valor-teste para determinar o sinal de numerador e denominador:
– Em x=-1in(-infty,-tfrac12): numerador 2(-1)+1=-1<0, denominador -1-4=-5<0, logo f(x)>0.
– Em x=0in(-tfrac12,4): numerador 2cdot0+1=1>0, denominador 0-4=-4<0, logo f(x)<0.
– Em x=5in(4,infty): numerador 2cdot5+1=11>0, denominador 5-4=1>0, logo f(x)>0.

Passo 4

Combinando os resultados, vemos que f(x) é positiva quando numerador e denominador têm o mesmo sinal, negativa quando têm sinais opostos, zera em x=-tfrac12 e é indefinida em x=4.

Resposta

2x+1x-4 >0,& xin(-infty,-tfrac12),cup,(4,infty), =0,& x=-tfrac12, <0,& xin(-tfrac12,4), não definida,& x=4 ã

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