a) Determine a função rho, sabendo que o campo eléctrico dentro da esfera é radial com um módulo constante E0 :
i) aplicando a forma integral do teorema de Gauss.
ii) aplicando a forma local do teorema de Gauss.
b) Calcule a carga total Q contida na esfera e determine o campo eléctrico no exterior da esfera. Verifique a continuidade do campo na fronteira interior/exterior da esfera.

Passo 1

Beleza, temos uma esfera (de raio E(r)=E0,hat r(r) onde, no interior ( ), o campo elétrico é radial e de módulo constante :
O que precisamos:
  • Aplicar a forma integral do Teorema de Gauss ( ) para achar .
  • Aplicar a forma local ( ) para chegar no mesmo resultado.
  • Depois, calcular a carga total dentro da esfera e o campo fora ( ), e checar se em o campo não dá nenhum “pulo”.

Passo 2

(i) Forma integral de Gauss
  1. Escolho uma superfície gaussiana esférica de raio oint Ecdot dA =E0cdot (4pi r^2) .
  2. Como E0,4pi r^2 ;=;Qrm int(r)varepsilon0 Longrightarrow Qrm int(r)=varepsilon0,E0,4pi r^2 é constante em módulo, dQrm intdr =rho(r),4pi r^2 =ddr(varepsilon0E0,4pi r^2) =varepsilon0E0,8pi r
  3. Pela lei de Gauss: rho(r)=varepsilon0E0,8pi r4pi r^2 =2varepsilon0E0r
  4. Mas . Diferenciando em relação a :
  5. Logo

Passo 3

(ii) Forma local de Gauss
  1. A forma local diz nablacdotE =1r^2ddr(r^2E(r)) .
  2. Em coordenadas esféricas, para nablacdotE =1r^2ddr(r^2E0) =1r^2(2E0,r) =2E0r , rho(r)=varepsilon0,nablacdotE =2varepsilon0E0r,
  3. Aqui (constante), então
  4. Assim batendo perfeitamente com o resultado do integral.

Passo 4

Carga total Q = Qrm int(R) =varepsilon0,E0,4pi R^2 na esfera de raio :

Passo 5

Campo fora da esfera ( E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = Q4pivarepsilon0,r^2 = E0;R^2r^2 ):
pela lei de Gauss para , a carga encerrada é , então
Verificação de continuidade em :
  • Dentro, .
  • Fora, .
    Sem pulos, tudo certinho.

Resposta

\rho®=\frac{2\varepsilon_0,E_0}{r}\quad(r<R),
\quad Q=\varepsilon_0,E_0,4\pi R^2,
\quad
E®= E0,&rR

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