a) Determine a função
, sabendo que o campo eléctrico dentro da esfera é radial com um módulo constante
:
i) aplicando a forma integral do teorema de Gauss.
ii) aplicando a forma local do teorema de Gauss.
b) Calcule a carga total
contida na esfera e determine o campo eléctrico no exterior da esfera. Verifique a continuidade do campo na fronteira interior/exterior da esfera.
i) aplicando a forma integral do teorema de Gauss.
ii) aplicando a forma local do teorema de Gauss.
b) Calcule a carga total
Passo 1
Beleza, temos uma esfera (de raio
) onde, no interior (
), o campo elétrico é radial e de módulo constante
:
O que precisamos:
- Aplicar a forma integral do Teorema de Gauss (
) para achar . - Aplicar a forma local (
) para chegar no mesmo resultado. - Depois, calcular a carga total
dentro da esfera e o campo fora ( ), e checar se em o campo não dá nenhum “pulo”.
Passo 2
(i) Forma integral de Gauss
- Escolho uma superfície gaussiana esférica de raio
. - Como
é constante em módulo, - Pela lei de Gauss:
- Mas
. Diferenciando em relação a : - Logo
Passo 3
(ii) Forma local de Gauss
- A forma local diz
. - Em coordenadas esféricas, para
, - Aqui
(constante), então - Assim
batendo perfeitamente com o resultado do integral.
Passo 4
Carga total
na esfera de raio
:
Passo 5
Campo fora da esfera (
):
pela lei de Gauss para , a carga encerrada é
, então
pela lei de Gauss para
Verificação de continuidade em
:
- Dentro,
. - Fora,
.
Sem pulos, tudo certinho.
Resposta
\rho®=\frac{2\varepsilon_0,E_0}{r}\quad(r<R),
\quad Q=\varepsilon_0,E_0,4\pi R^2,
\quad
E®=
\quad Q=\varepsilon_0,E_0,4\pi R^2,
\quad
E®=