Um fio de comprimento L, centrado na origem O de um sistema de eixos e alinhado com o eixo dos z z, está carregado uniformemente com uma densidade linear de carga lambda.
Determine o campo eléctrico nos pontos com z=0 e distância ao fio r (coordenada cilíndrica).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Você tem um fio de comprimento , centrado na origem e alinhado com o eixo , com densidade linear de carga . Queremos o campo elétrico num ponto que esteja no plano e a uma distância do fio (ou seja, coordenada cilíndrica ).
Conteúdo envolvido:
  • Lei de Coulomb para campo de uma carga pontual
  • Princípio da superposição (integral de distribuições contínuas)
  • Simetria cilíndrica (só vai sobrar componente radial)
  • Cálculo de integrais do tipo
O que vamos usar:
  1. Dividir o fio em pedacinhos de carga .
  2. Aplicar a fórmula diferencial do campo, .
  3. Reconhecer que só a componente radial (na direção “pra fora” do eixo) sobrevive, porque as componentes ao longo de se cancelam por simetria.
  4. Montar e resolver a integral.

Passo 2

Vamos montar a expressão de R=raizr^2+z'^2, . Seja um pedaço de fio na posição dE = 14pivarepsilon0,dQR^2 = 14pivarepsilon0,lambda,dz'(r^2+z'^2) . A distância desse pedaço até o ponto dEr = dE;rR = 14pivarepsilon0,lambda,dz'(r^2+z'^2);rraizr^2+z'^2 = lambda4pivarepsilon0;r,dz'(r^2+z'^2)^3/2 é
Pela lei de Coulomb, o módulo de é
Dessa força só interessa a projeção radial, que traz um fator . Então

Passo 3

Agora integramos Er = integral-L/2^+L/2 dEr = lambda4pivarepsilon0,r integral-L/2^+L/2dz'(r^2+z'^2)^3/2 ao longo do fio, de até :

Passo 4

A integral
integraldz'(a^2+z'^2)^3/2 = z'a^2raiza^2+z'^2
é padrão. Podemos usar
integral-L/2^+L/2dz'(r^2+z'^2)^3/2 = z'r^2raizr^2+z'^2|-L/2^+L/2 = (L/2)r^2raizr^2+(L/2)^2 - (-L/2)r^2raizr^2+(L/2)^2 = Lr^2raizr^2+(L/2)^2
Aqui Er = lambda4pivarepsilon0,r Lr^2raizr^2+(L/2)^2 = lambda,L4pivarepsilon0;1r,raizr^2+(L/2)^2 . Então, avaliada de a , dá
Logo,

Passo 5

Como não há componente em E(r,0) = Er,er = lambda,L4pivarepsilon0,r,raizr^2+(L/2)^2;er e o vetor fica apontando radialmente para fora (se ), escrevemos

Resposta

boxed E(r,0) = lambda,L4pivarepsilon0,r,raizr^2+(L/2)^2;er

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