Um fio de comprimento , centrado na origem de um sistema de eixos e alinhado com o eixo dos , está carregado uniformemente com uma densidade linear de carga .
Determine o campo eléctrico nos pontos e distância ao fio (coordenada cilíndrica).
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Você tem um fio de comprimento , centrado na origem e alinhado com o eixo , com densidade linear de carga . Queremos o campo elétrico num ponto que esteja no plano e a uma distância do fio (ou seja, coordenada cilíndrica ).
Conteúdo envolvido:
Lei de Coulomb para campo de uma carga pontual
Princípio da superposição (integral de distribuições contínuas)
Simetria cilíndrica (só vai sobrar componente radial)
Cálculo de integrais do tipo
O que vamos usar:
Dividir o fio em pedacinhos de carga .
Aplicar a fórmula diferencial do campo, .
Reconhecer que só a componente radial (na direção “pra fora” do eixo) sobrevive, porque as componentes ao longo de se cancelam por simetria.
Montar e resolver a integral.
Passo 2
Vamos montar a expressão de . Seja um pedaço de fio na posição . A distância desse pedaço até o ponto é
Pela lei de Coulomb, o módulo de é
Dessa força só interessa a projeção radial, que traz um fator . Então
Passo 3
Agora integramos ao longo do fio, de até :
Passo 4
A integral
é padrão. Podemos usar
Aqui . Então, avaliada de a , dá
Logo,
Passo 5
Como não há componente em E(r,0) = Er,er = lambda,L4pivarepsilon0,r,raizr^2+(L/2)^2;er e o vetor fica apontando radialmente para fora (se ), escrevemos