Um longo cilindro de raio R tem uma carga uniforme por unidade de comprimento Q^prime. Encontre a d.d.p. entre dois pontos, muito longe das extremidades do cilindro, situados a distâncias r1 e r2 do eixo do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o enunciado de boa:
Temos um cilindro muito comprido (pode tratar como “infinito”) de raio e densidade de carga linear (carga por comprimento). A tarefa é achar a diferença de potencial elétrico entre dois pontos que estão a distâncias e do eixo desse cilindro, longe das bordas.
Conteúdo: campo elétrico de um cilindro carregado e potencial elétrico (diferença de potencial).
O que vamos precisar:
  1. Lei de Gauss para achar o campo elétrico .
  2. Definição de diferença de potencial .

Passo 2

Primeiro, usamos a Lei de Gauss pra achar o campo elétrico fora do cilindro (supondo Phi = oint vec Ecdot dvec A = E(r),l(2pi r Lr) = Qrm intvarepsilon0 , que é o caso dos nossos pontos):
  1. Escolhemos uma superfície gaussiana em forma de cilindro coaxial de raio E(r)=Q',Lvarepsilon0,2pi r L =Q'2pivarepsilon0,r, e comprimento .
  2. A carga total dentro dela é .
  3. A lei de Gauss diz
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Passo 3

Agora calculamos a diferença de potencial entre V(r2)-V(r1)=-integralr1^r2 vec Ecdot dvec r =-integralr1^r2 E(r),dr e V(r2)-V(r1) =-integralr1^r2Q'2pivarepsilon0,r,dr =-Q'2pivarepsilon0l[ln rr]r1^r2 =-Q'2pivarepsilon0l(ln r2-ln r1r) . Por definição
V(r2)-V(r1) =Q'2pivarepsilon0,ln!l(tfracr1r2r)
Como é radial e aponta pra fora, . Substituindo:
E isso dá

Resposta

boxedV(r2)-V(r1)=Q'2pivarepsilon0,ln!l(tfracr1r2r)

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