Determine f: A B uma função que satisfaça todas as seguintes propriedades:
(a) A=Dom(f)=[-10,10],
(b) B=]-5,5[,
(c) f seja sobrejetora,
(d) f seja ímpar.

Passo 1

O enunciado pede uma função fcolon Ato B com
A = [-10,10], B = ,]-5,5[,
sendo f ímpar e sobrejetora em B. Vamos aproveitar que a função seno restrita a l]-tfracpi2,tfracpi2r[ é ímpar e bate exatamente em (-1,1), e em seguida escalonar para (-5,5).

Passo 2

Definimos inicialmente, para lvert xrvert<10,
f(x) = 5,sin!l(pi x20r)
Neste caso o argumento pi x20 varia em
l]-tfracpi2,tfracpi2r[, de modo que
sinl(tfracpi x20r)in(-1,1) e, portanto,
f(x)in(-5,5)subset B

Passo 3

Como precisamos também que f esteja definido em x=pm10, e não queremos atingir os valores pm5 nesses pontos, definimos
f(10) = 0, f(-10)=0
Assim fcolon[-10,10]to(-5,5) está bem definida e nunca atinge pm5.

Passo 4

Verificamos que f é ímpar. Para lvert xrvert<10 temos
f(-x) =5,sin!l(pi(-x)20r) =5,l(-sin!tfracpi x20r) =-,5,sin!l(tfracpi x20r) =-f(x)
E nos pontos extremos x=pm10 temos f(pm10)=0, logo f(-10)=0=-f(10). Portanto f é ímpar no domínio todo.

Passo 5

Mostramos a sobrejetividade em B=(-5,5). Dado qualquer yin(-5,5), seja
x = 20pi,arcsin!l(y5r)
Como tfracy5in(-1,1), arcsinl(tfracy5r)inl]-tfracpi2,tfracpi2r[, segue
-10<x<10. E então
f(x) =5,sin!l(pi20cdot 20pi,arcsin!l(tfracy5r)r) =5,sin!l(arcsin!tfracy5r) =y
Logo todo yin(-5,5) é atingido por f.

Resposta

A função
f(x) = 5,sin!l(tfracpi x20r), & lvert xrvert<10, 0, & x=pm 10,
satisfaz A=[-10,10], f(A)=(-5,5), é ímpar e sobrejetora em B.

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