Determine
uma função que satisfaça todas as seguintes propriedades:
(a)
,
(b)
,
(c)
seja sobrejetora,
(d)
seja ímpar.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede uma função
com
sendo
ímpar e sobrejetora em
. Vamos aproveitar que a função seno restrita a
é ímpar e bate exatamente em
, e em seguida escalonar para
.
Passo 2
Definimos inicialmente, para
,
Neste caso o argumento
varia em
, de modo que
e, portanto,
Passo 3
Como precisamos também que
esteja definido em
, e não queremos atingir os valores
nesses pontos, definimos
Assim
está bem definida e nunca atinge
.
Passo 4
Verificamos que
é ímpar. Para
temos
E nos pontos extremos
temos
, logo
. Portanto
é ímpar no domínio todo.
Passo 5
Mostramos a sobrejetividade em
. Dado qualquer
, seja
Como
,
, segue
. E então
Logo todo
é atingido por
.
Resposta
A função
satisfaz
A=[-10,10] ,
f(A)=(-5,5) , é ímpar e sobrejetora em
B .