A questão pede calcular usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é integral de função com raíz de uma quadrática; vamos completar o quadrado dentro da raiz, fazer uma mudança de variável linear e depois uma substituição trigonométrica para resolver.
Passo 2
Primeiro, completamos o quadrado no radicando:
Então definimos , daí e . A integral vira
Passo 3
Para eliminar a raiz, fazemos a substituição trigonométrica apropriada para uma expressão do tipo . No nosso caso, e , então definimos
Isso implica
Passo 4
Substituindo tudo na integral, obtemos:
Passo 5
Agora integramos cada parte usando fórmulas padrão:
Logo a integral em theta é 14sectheta - 12lnl|sectheta + tanthetar| + C
Passo 6
Falta retornar à variável x. Lembrando que z = x+1, temos
sectheta = raiz4z^2+1 = raiz4(x+1)^2+1,
tantheta = 2z = 2(x+1)
Substituindo de volta, a resposta final é 14raiz4(x+1)^2+1 - 12lnl|2(x+1) + raiz4(x+1)^2+1r| + C
Resposta
tfrac14raiz4(x+1)^2+1 - tfrac12lnl|2(x+1) + raiz4(x+1)^2+1r| + C