Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
© integral xraiz4 x^2+8 x+5 d x

Passo 1

A questão pede calcular integral xraiz4x^2+8x+5,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é integral de função com raíz de uma quadrática; vamos completar o quadrado dentro da raiz, fazer uma mudança de variável linear e depois uma substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado no radicando:
4x^2+8x+5 = 4(x+1)^2 + 1
Então definimos z = x + 1, daí x = z - 1 e dx = dz. A integral vira
integral xraiz4x^2+8x+5,dx = integral z-1raiz4z^2+1,dz

Passo 3

Para eliminar a raiz, fazemos a substituição trigonométrica apropriada para uma expressão do tipo raiza^2 + b^2z^2. No nosso caso, a=1 e b=2, então definimos
2z = tantheta
Isso implica
z = tfrac12tantheta, dz = tfrac12sec^2theta,dtheta, raiz4z^2+1 = sectheta

Passo 4

Substituindo tudo na integral, obtemos:
integral z-1raiz4z^2+1,dz = integral tfrac12tantheta - 1sectheta cdot tfrac12sec^2theta,dtheta = 14integral tanthetasectheta,dtheta - 12integral sectheta,dtheta

Passo 5

Agora integramos cada parte usando fórmulas padrão:
integral tanthetasectheta,dtheta = sectheta + C,
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C
Logo a integral em theta é
14sectheta - 12lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 6

Falta retornar à variável x. Lembrando que z = x+1, temos
sectheta = raiz4z^2+1 = raiz4(x+1)^2+1,
tantheta = 2z = 2(x+1)
Substituindo de volta, a resposta final é
14raiz4(x+1)^2+1 - 12lnl|2(x+1) + raiz4(x+1)^2+1r| + C

Resposta

tfrac14raiz4(x+1)^2+1 - tfrac12lnl|2(x+1) + raiz4(x+1)^2+1r| + C

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