Determine se a função a seguir é contínua ou descontínua no ponto (0,0).
f(x, y)=cl3 x^2 yraizx^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Estamos com a função
f(x,y)= dfrac3x^2yraizx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e queremos saber se ela é contínua em (0,0). O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis: precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) ;=;f(0,0)=0
]

Passo 2

Para calcular esse limite, uma estratégia clássica é usar coordenadas polares, pois aí a distância ao ponto (0,0) fica muito simples de controlar.

Passo 3

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, r = raizx^2+y^2, rto 0
Substituindo em f(x,y)
f(x,y) =3x^2yraizx^2+y^2 =3,(rcostheta)^2(rsintheta)r =3,r^2cos^2thetasintheta

Passo 4

Agora basta estimar o valor absoluto:
l|f(x,y)r| =|3,r^2cos^2thetasintheta| <= 3,r^2,|cos^2theta,sintheta| <= 3,r^2
Como rto0 implica 3r^2to0, segue que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Isso coincide com f(0,0).

Resposta

A função é contínua em (0,0).

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