Determine se a função a seguir é contínua ou descontínua no ponto (0,0).
Passo 1
O enunciado define
e pede para analisar a continuidade em
(0,0) . Lembrando que
f é contínua em
(0,0) se, e somente se,
Passo 2
Vamos verificar o limite ao longo de retas que passam pela origem, isto é,
y= m,x com
m constante. Substituindo em
f :
Passo 3
Note que
m1+m^2 independe de
x , logo
Esse valor varia com
m , ou seja, depende da direção de aproximação.
Passo 4
Por exemplo:
- Se
, entãom=0 .limxto0f(x,0)=0 - Se
, entãom=1 .limxto0f(x,x)=tfrac12
Como esses dois limites são diferentes, não existe um único valor para
.lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
Passo 5
Como o limite de
f(x,y) ao aproximar-se de
(0,0) depende da reta de aproximação, ele não existe. Logo não pode ser igual a
f(0,0)=0 .
Resposta
A função
f é descontínua em
(0,0) .