Determine se a função a seguir é contínua ou descontínua no ponto (0,0).
f(x, y)=clx yx^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx,yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para analisar a continuidade em (0,0). Lembrando que f é contínua em (0,0) se, e somente se,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0

Passo 2

Vamos verificar o limite ao longo de retas que passam pela origem, isto é, y= m,x com m constante. Substituindo em f:
f(x,mx) =x,(m x)x^2+(m x)^2 =m,x^2x^2(1+m^2) =m1+m^2

Passo 3

Note que m1+m^2 independe de x, logo
limxto0f(x,mx)=m1+m^2
Esse valor varia com m, ou seja, depende da direção de aproximação.

Passo 4

Por exemplo:
  • Se m=0, então limxto0f(x,0)=0.
  • Se m=1, então limxto0f(x,x)=tfrac12.
    Como esses dois limites são diferentes, não existe um único valor para
    lim(x,y)to(0,0)f(x,y).

Passo 5

Como o limite de f(x,y) ao aproximar-se de (0,0) depende da reta de aproximação, ele não existe. Logo não pode ser igual a f(0,0)=0.

Resposta

A função f é descontínua em (0,0).

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