Determine o valor de K para que a função f(x)=(x^2+1)(x+4)k x+2 satisfaça a igualdade f(1)=f(2).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função racional
f(x)=(x^2+1)(x+4)k,x+2
e pede o valor de k tal que
f(1)=f(2)
O conteúdo aqui é resolver uma equação em k obtida ao igualar as duas expressões de f.

Passo 2

Calcular f(1). Substituindo x=1 na expressão de f, temos
f(1)=l(1^2+1r),(1+4)kcdot1+2 =(1+1)cdot5k+2 =10k+2

Passo 3

Calcular f(2). Substituindo x=2, obtemos
f(2)=l(2^2+1r),(2+4)kcdot2+2 =(4+1)cdot62k+2 =302(k+1) =15k+1

Passo 4

Igualar f(1) e f(2) e resolver para k:
10k+2=15k+1 ;Longrightarrow; 10(k+1)=15(k+2) ;Longrightarrow; 10k+10=15k+30 ;Longrightarrow; -20=5k ;Longrightarrow; k=-4
Verificamos que kneq-2 e kneq-1 para não anular denominadores, e k=-4 é válido.

Resposta

k=-4

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