Determine a para que a função seja contínua no ponto considerado: \left\{\begin{array}{lll}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{x} & \text { se } & x>0 \\\\ 3 x^{2}-4 x+a & \text { se } & x \leq 0\end{array}\right. No ponto x=0. Passo 1O enunciado define a função f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{x}, & x>0,\\[6pt] 3x^{2}-4x+a, & x\le0, \end{cases} e pede o valor de a para que f seja contínua em x=0. Para isso, precisamos que \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^-}f(x).] Passo 2Calculemos o limite pela direita: \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{x}. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+2}+\sqrt{x}: \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{x}\,\cdot\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}} =\frac{(x+2)-x}{x\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\bigr)} =\frac{2}{x\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\bigr)}. À medida que x\to0^+, o denominador x(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})\to0 com sinal positivo, logo \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{x}=+\infty. Passo 3Pela esquerda, temos \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(3x^{2}-4x+a)=a, e o valor de f em 0 é f(0)=3\cdot0^{2}-4\cdot0+a=a. Para continuidade, precisaríamos de \lim_{x\to0^+}f(x)=a, mas vimos que esse limite é +\infty, não um número finito. RespostaNão existe valor real de a que torne f contínua em x=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine a para que a função seja contínua no ponto considerado: \left\{\begin{array}{lll}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{x} & \text { se } & x>0 \\\\ 3 x^{2}-4 x+a & \text { se } & x \leq 0\end{array}\right. No ponto x=0. Discuta sobre a continuidade de cada função: f(x)=x \sqrt{x+3} Determine a para que a função seja contínua no ponto considerado: \left\{\begin{array}{lll}\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{sen} 2 x} & \text { se } & x \neq 0 \\\ \cos a & \text { se } & x=0\end{array}\right. No ponto x=0. Determine a para que a função seja contínua no ponto considerado: \left\{\begin{array}{lll}\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{sen} 2 x} & \text { se } & x \neq 0 \\\ \cos a & \text { se } & x=0\end{array}\right. No ponto x=0.