Determine ki para que a função seja solução da equação de Poison
nabla^2 f=-c^2
se possível.
f(x, y)=ln (k1 x^2+k2 y^2)

Passo 1

O enunciado pede os valores de k1 e k2 tais que
nabla^2f = -,c^2,
onde
f(x,y)=lnl(k1x^2+k2y^2r)
O que vamos precisar é calcular nabla f e depois nabla^2f, ver se dá uma constante e igualar a -c^2.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Defina
A(x,y)=k1x^2+k2y^2
Então
nabla f = nablal(ln Ar) = 1A,nabla A = 1A,l(2k1x,;2k2yr) = l(2k1xA,;2k2yAr)

Passo 3

Agora calculamos a divergência desse vetor para obter a Laplaciana:
nabla^2f =partialpartial x!l(2k1xAr) +partialpartial y!l(2k2yAr)
Cada termo é
partialpartial x!l(2k1xAr) = 2k1A -2k1x,(2k1x)A^2 = 2k1A -4k1^2x^2A^2,
partialpartial y!l(2k2yAr) = 2k2A -4k2^2y^2A^2

Passo 4

Somando os dois termos, usando A=k1x^2+k2y^2, obtemos
nabla^2f = 2(k1+k2)A -4l(k1^2x^2+k2^2y^2r)A^2 = 2k1(k2-k1),x^2 + 2k2(k1-k2),y^2A^2
Note que isso, em geral, depende de x e y e não é constante.

Passo 5

Para que nabla^2f seja a constante -c^2, o numerador precisaria ser proporcional a A^2 (que é quartico em x,y). Mas nosso numerador é só quadrático, então não há como torná-lo constante, salvo no caso em que ele se anule em todo lugar.

Passo 6

O numerador zera para todo (x,y)neq(0,0) exatamente quando
k1(k2-k1)=0 e k2(k1-k2)=0,
o que implica k1=k2. Nesse caso
nabla^2f =0,
isto é, satisfaz nabla^2f=-c^2 somente se -c^2=0, ou seja c=0.

Resposta

Não existe solução para cneq0. Para c=0 a única escolha é
k1=k2,
pois então nabla^2f=0.

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