Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
phi(x, y, z, n)=alpha x+beta y^2gamma z+de<a y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
phi(x,y,z,n)=alpha x+beta y^2gamma z+de<a y^2
O conteúdo aqui é o cálculo de derivadas parciais usando a regra do quociente. Para isso, definimos
u(x,y,z)=alpha x+beta y^2, v(x,y,z)=gamma z+de<a y^2,
de modo que phi=u/v.

Passo 2

Derivada parcial em relação a x:
Aplicando a regra do quociente
partial phipartial x =ux,v - u,vxv^2,
sabendo que ux=alpha e vx=0, obtemos
partial phipartial x =alpha(gamma z+de<a y^2)-0(gamma z+de<a y^2)^2 =alphagamma z+de<a y^2

Passo 3

Derivada parcial em relação a y:
Ainda pela regra do quociente
partial phipartial y =uy,v - u,vyv^2,
onde uy=2beta y e vy=2de<a y. Logo,
partial phipartial y =2beta y,(gamma z+de<a y^2)-(alpha x+beta y^2),2de<a y (gamma z+de<a y^2)^2 =2yl(beta(gamma z+de<a y^2)-de<a(alpha x+beta y^2)r) (gamma z+de<a y^2)^2
Podemos ainda simplificar o numerador:
betagamma z+betade<a y^2 -de<aalpha x-de<abeta y^2 =betagamma z-alphade<a x,
ficando
partial phipartial y =2y(betagamma z-alphade<a x)(gamma z+de<a y^2)^2

Passo 4

Derivada parcial em relação a z:
Pela mesma regra do quociente, com uz=0 e vz=gamma,
partial phipartial z =0cdot v - ucdotgammav^2 =-,gamma(alpha x+beta y^2)(gamma z+de<a y^2)^2

Passo 5

Derivada parcial em relação a n:
Como phi não depende de n, temos
partial phipartial n=0

Resposta

partial phipartial x =alphagamma z+de<a y^2, partial phipartial y =2y(betagamma z-alphade<a x)(gamma z+de<a y^2)^2, partial phipartial z =-gamma(alpha x+beta y^2)(gamma z+de<a y^2)^2, partial phipartial n=0

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